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quinta-feira, 1 de agosto de 2013

Mostre que se f e g :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} são duas funções limitadas, uniformemente contínuas , então f.g é uniformemente contínua.

Demonstração

|f(x)g(x)-f(y)g(y)|=|f(x)g(x)-f(y)g(x)+f(y)g(x)-f(y)g(y)|\leq

\leq|g(x)||f(x)-f(y)|+|f(y)||g(x)-g(y)|

O fato acima será útil na demonstração.

Como f(x) é uma função limitada , então existe k>0 tal que |f(x)|\leq k e
como g(x) é também uma função limitada existe w>0 tal que |g(x)|\leq w 

Como f(x) é uniformemente contínua , então 

para qualquer \epsilon>0 é possível determinar \delta_1>0 tal que 

x, y\in \mathbb{R},|x-y|<\delta_1\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2w}

Como g(x) é uniformemente contínua também , então

para qualquer \epsilon>0 é possível determinar \delta_2>0 tal que

x, y\in \mathbb{R},|x-y|<\delta_2\Rightarrow |g(x)-g(y)|<\frac{\epsilon}{2k}

Tomando \delta=max\{\delta_1,\delta_2\}

Assim encontramos para todo \epsilon>0 um \delta>0 tal que

x, y\in \mathbb{R},|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)g(x)-f(y)g(y)|\leq

\leq|g(x)||f(x)-f(y)|+|f(y)||g(x)-g(y)|<w.\frac{\epsilon}{2w}+k.\frac{\epsilon}{2k}=\epsilon

De forma resumida

x, y\in \mathbb{R},|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)g(x)-f(y)g(y)|<\epsilon









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