Mostre que se $f$ e $g$ :$\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ são duas funções limitadas, uniformemente contínuas , então $f.g$ é uniformemente contínua.

Demonstração

$|f(x)g(x)-f(y)g(y)|=|f(x)g(x)-f(y)g(x)+f(y)g(x)-f(y)g(y)|\leq$

$\leq|g(x)||f(x)-f(y)|+|f(y)||g(x)-g(y)|$

O fato acima será útil na demonstração.

Como $f(x)$ é uma função limitada , então existe $ k>0$ tal que $|f(x)|\leq k$ e

como $g(x)$ é também uma função limitada existe $w>0$ tal que $|g(x)|\leq w$ 

Como $f(x)$ é uniformemente contínua , então 

para qualquer $\epsilon>0$ é possível determinar $\delta_1>0$ tal que 

$x, y\in \mathbb{R},|x-y|<\delta_1\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2w}$

Como $g(x)$ é uniformemente contínua também , então

para qualquer $\epsilon>0$ é possível determinar $\delta_2>0$ tal que

$x, y\in \mathbb{R},|x-y|<\delta_2\Rightarrow |g(x)-g(y)|<\frac{\epsilon}{2k}$

Tomando $\delta=max\{\delta_1,\delta_2\}$

Assim encontramos para todo $\epsilon>0$ um $\delta>0$ tal que

$x, y\in \mathbb{R},|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)g(x)-f(y)g(y)|\leq$

$\leq|g(x)||f(x)-f(y)|+|f(y)||g(x)-g(y)|<w.\frac{\epsilon}{2w}+k.\frac{\epsilon}{2k}=\epsilon$

De forma resumida

$x, y\in \mathbb{R},|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)g(x)-f(y)g(y)|<\epsilon$