Demonstração
|f(x)g(x)-f(y)g(y)|=|f(x)g(x)-f(y)g(x)+f(y)g(x)-f(y)g(y)|\leq
\leq|g(x)||f(x)-f(y)|+|f(y)||g(x)-g(y)|
O fato acima será útil na demonstração.
Como f(x) é uma função limitada , então existe k>0 tal que |f(x)|\leq k e
como g(x) é também uma função limitada existe w>0 tal que |g(x)|\leq w
Como f(x) é uniformemente contínua , então
para qualquer \epsilon>0 é possível determinar \delta_1>0 tal que
x, y\in \mathbb{R},|x-y|<\delta_1\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\frac{\epsilon}{2w}
Como g(x) é uniformemente contínua também , então
para qualquer \epsilon>0 é possível determinar \delta_2>0 tal que
x, y\in \mathbb{R},|x-y|<\delta_2\Rightarrow |g(x)-g(y)|<\frac{\epsilon}{2k}
Tomando \delta=max\{\delta_1,\delta_2\}
Assim encontramos para todo \epsilon>0 um \delta>0 tal que
x, y\in \mathbb{R},|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)g(x)-f(y)g(y)|\leq
\leq|g(x)||f(x)-f(y)|+|f(y)||g(x)-g(y)|<w.\frac{\epsilon}{2w}+k.\frac{\epsilon}{2k}=\epsilon
De forma resumida
x, y\in \mathbb{R},|x-y|<\delta\Rightarrow|f(x)g(x)-f(y)g(y)|<\epsilon
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