Geometria Diferencial(Evoluta de uma curva)

Seja $\alpha(s)$ uma curva parametrizada pelo comprimento de arco.A evoluta de $\alpha$ é acurva definida por $\beta(s)=\alpha(s)+\frac{1}{k(s)}n(s)$ ,onde $n(s)$ é o vetor normal e $k(s)$ é a curvatura de $\alpha$.

Se $k(s)>0, \forall s$ ,verifique que o comprimento de arco da evoluta de $\alpha$ entre $s_0$ e $s_1$ é igual à diferença entre os raios de curvatura entre $s_0$ e $s_1$.


Vamos tomar a derivada $\beta'(s)=\alpha'(s)-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)+\frac{1}{k(s)}n'(s)$


Como $n'(s)=-k(s).t(s)$ ficamos com:

$\beta'(s)=\alpha'(s)-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)+\frac{1}{k(s)}(-k(s).t(s))$

Dessa forma

$\beta'(s)=\alpha'(s)-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)-t(s)$

Mas $\alpha'(s)=t(s)$, logo:

$\beta'(s)=-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)$


Queremos agora calcular o comprimento de arco de $\beta(s)=\alpha(s)+\frac{1}{k(s)}n(s)$ entre $s_0$ e $s_1$.


Agora vamos avaliar a integral
$\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds$

$\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds=\int_{s_0}^{s_1}|-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)|ds=\int_{s_0}^{s_1}|\frac{k'(s)}{k(s)^2}||n(s)|ds$

O vetor $n(s)$ é unitário.

Assim,
$\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds=\int_{s_0}^{s_1}|\frac{k'(s)}{k(s)^2}| ds$

Fazendo a mudança de variável $u=k(s)$ , então $du=k'(s)ds$ e  os limites de integração variam de $k(s_0)$ a $k(s_1)$

$\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds=\int_{k(s_0)}^{k(s_1)}|\frac{1}{u^2}| du$

Como    $\frac{1}{u^2}>0$ para $u\neq 0$ , então:

$\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds=\int_{k(s_0)}^{k(s_1)}\frac{1}{u^2} du$



Assim ficamos com $\frac{-1}{u}$ de $k(s_0)$ a $k(s_1)$ , que nos fornece:


$\frac{-1}{k(s_1)}-(-\frac{1}{k(s_0)})$


$$\frac{1}{k(s_0)}-\frac{1}{k(s_1)}$$


Onde $\frac{1}{k(s)}$ é o raio de curvatura .