Geometria Diferencial(Evoluta de uma curva)

Seja $\alpha(s)$ uma curva parametrizada pelo comprimento de arco.A evoluta de $\alpha$ é acurva definida por $\beta(s)=\alpha(s)+\frac{1}{k(s)}n(s)$ ,onde $n(s)$ é o vetor normal e $k(s)$ é a curvatura de $\alpha$.

Se $k(s)>0, \forall s $ ,verifique que o comprimento de arco da evoluta de $\alpha$ entre $s_0$ e $s_1$ é igual à diferença entre os raios de curvatura entre $s_0$ e $s_1$.


Vamos tomar a derivada $\beta'(s)=\alpha'(s)-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)+\frac{1}{k(s)}n'(s)$


Como $n'(s)=-k(s).t(s)$ ficamos com:

$\beta'(s)=\alpha'(s)-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)+\frac{1}{k(s)}(-k(s).t(s))$

Dessa forma

$\beta'(s)=\alpha'(s)-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)-t(s)$

Mas $\alpha'(s)=t(s)$, logo:

$\beta'(s)=-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)$


Queremos agora calcular o comprimento de arco de $\beta(s)=\alpha(s)+\frac{1}{k(s)}n(s)$ entre $s_0$ e $s_1$.


Agora vamos avaliar a integral
$\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds$

$\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds=\int_{s_0}^{s_1}|-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)|ds=\int_{s_0}^{s_1}|\frac{k'(s)}{k(s)^2}||n(s)|ds$

O vetor $n(s)$ é unitário.

Assim,
$\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds=\int_{s_0}^{s_1}|\frac{k'(s)}{k(s)^2}| ds $

Fazendo a mudança de variável $u=k(s)$ , então $du=k'(s)ds$ e  os limites de integração variam de $k(s_0)$ a $k(s_1)$

$\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds=\int_{k(s_0)}^{k(s_1)}|\frac{1}{u^2}| du $

Como    $\frac{1}{u^2}>0$ para $u\neq 0$ , então:

$\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds=\int_{k(s_0)}^{k(s_1)}\frac{1}{u^2} du$



Assim ficamos com $\frac{-1}{u}$ de $k(s_0)$ a $k(s_1)$ , que nos fornece:


$\frac{-1}{k(s_1)}-(-\frac{1}{k(s_0)})$


$$\frac{1}{k(s_0)}-\frac{1}{k(s_1)}$$


Onde $\frac{1}{k(s)}$ é o raio de curvatura .

Números complexos

Considerando o desenvolvimento $(1+i)^n$ calcule o valor da soma  $S=\binom{n}{0}-\binom{n}{2}+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}+\cdots$ :
Observação : $i^2=-1$


Obtendo a expansão do binômio de Newton de $(1+i)^n$ , obtemos:
$$(1+i)^n$$=
$$\binom{n}{0}i^0+\binom{n}{1}i^1+\binom{n}{2}i^2+\binom{n}{3}i^3+\binom{n}{4}i^4+\binom{n}{5}i^5+\binom{n}{6}i^6+\cdots$$

Temos
$i^0=1$
$i^1=i$
$i^2=-1$
$i^3=-i$
$i^4=1$
$i^5=i$

Assim , substituindo na expansão, ficamos com:

$$\binom{n}{0}i+\binom{n}{1}i^1+\binom{n}{2}i^2+\binom{n}{3}i^3+\binom{n}{4}i^4+\binom{n}{5}i^5+\binom{n}{6}i^6+\cdots$$

Assim , temos:
$$\binom{n}{0}+\binom{n}{1}i -\binom{n}{2}-\binom{n}{3}i+\binom{n}{4}+\binom{n}{5}i-\binom{n}{6}+\cdots$$

Reorganizando:

$$\binom{n}{0}-\binom{n}{2} +i[\binom{n}{1}-\binom{n}{3}]+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}-i[\binom{n}{5}-\binom{n}{7}]+\cdots$$

Colocando o número complexo  $(1+1)^n$ na forma trigonométrica , temos:
$$(1+i)^n=(\sqrt 2)^n (cos \frac{n\pi}{4}+i sen \frac{n\pi}{4})$$

Concluímos que $S=\binom{n}{0}-\binom{n}{2}+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}+\cdots$  é a parte real do número complexo $(1+1)^n$.
Logo
$$S=\binom{n}{0}-\binom{n}{2}+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}+\cdots=(\sqrt 2)^n cos \frac{n\pi}{4}$$