Supremo

Seja A um conjunto não-vazio e limitado superiormente e seja

$a = sup A$ então para todo $\epsilon>0$ existe $\; x$ em $A$ tal que $a-\epsilon < x \leq a$.

Demonstração

Suponha um $d<a$ , claramente $d$ não é cota superior de $A$ , como para todo $\epsilon>0,$               $a-\epsilon<a$, então $a-\epsilon$ não é cota superior de $A$, logo existe pelo menos um $x$ tal que 

$a-\epsilon<x\leq a$