Prove que se f(x) é contínua em x=a e f(x)\geqslant0, então g(x)=\sqrt{f(x)} é contínua em x=a.
Demonstração
Como f(x) é contínua , então
\forall \epsilon >0 \exists \delta>0 tal que |x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon
Sabemos que \sqrt{f(x)}+\sqrt{f(a)}>\sqrt{f(a)} , então
|\sqrt{f(x)}-\sqrt{f(a)}|=\frac{|f(x)-f(a)|}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(a)}}<\frac{|f(x)-f(a)|}{\sqrt{f(a)}}<\frac{\epsilon}{\sqrt{f(a)}} .
Assim mostramos , mediante a continuidade de f(x) em x=a que |\sqrt{f(x)}-\sqrt{f(a)}| <\frac{\epsilon}{\sqrt{f(a)}} quando |x-a|<\delta.
Isto mostra o que queríamos.
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