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sábado, 3 de agosto de 2013

Prove que se f(x) é contínua em x=a e f(x)\geqslant0, então g(x)=\sqrt{f(x)} é contínua em x=a.

Demonstração

Como f(x) é contínua , então

\forall \epsilon >0 \exists  \delta>0 tal que |x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon


Sabemos que \sqrt{f(x)}+\sqrt{f(a)}>\sqrt{f(a)} , então

|\sqrt{f(x)}-\sqrt{f(a)}|=\frac{|f(x)-f(a)|}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(a)}}<\frac{|f(x)-f(a)|}{\sqrt{f(a)}}<\frac{\epsilon}{\sqrt{f(a)}} .


Assim mostramos , mediante a continuidade de f(x) em x=a que |\sqrt{f(x)}-\sqrt{f(a)}| <\frac{\epsilon}{\sqrt{f(a)}} quando  |x-a|<\delta.

Isto mostra o que queríamos.

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