Prove que se $f(x)$ é contínua em $x=a$ e $f(x)\geqslant0$, então $g(x)=\sqrt{f(x)}$ é contínua em $x=a$.

Demonstração

Como $f(x)$ é contínua , então

$\forall \epsilon >0 \exists  \delta>0$ tal que $|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon $


Sabemos que $\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(a)}>\sqrt{f(a)}$ , então

$|\sqrt{f(x)}-\sqrt{f(a)}|=\frac{|f(x)-f(a)|}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(a)}}<\frac{|f(x)-f(a)|}{\sqrt{f(a)}}<\frac{\epsilon}{\sqrt{f(a)}}$ .


Assim mostramos , mediante a continuidade de $f(x)$ em $x=a$ que $|\sqrt{f(x)}-\sqrt{f(a)}|$ $<\frac{\epsilon}{\sqrt{f(a)}}$ quando  $|x-a|<\delta$.

Isto mostra o que queríamos.