Loading web-font TeX/Math/Italic

segunda-feira, 12 de agosto de 2013

Indução Finita

Prove que


1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=[\frac{n(n+1)}{2}]^2 , \forall n\in\mathbb{N^*} .

Base da indução    (n=1)

 1^3=[\frac{1(1+1)}{2}]^2=1 , Verdadeiro.

Hipótese de indução   (n=k)

 1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3=[\frac{k(k+1)}{2}]^2

Tese de indução (n=k+1)

Vamos provar para (n=k+1) .


1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3+(k+1)^3=[\frac{k(k+1)}{2}]^2+(k+1)^3

Vamos somar [\frac{k(k+1)}{2}]^2+(k+1)^3

\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}=
\frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}=[\frac{(k+1)(k+2)}{2}]^2

Assim provamos que a fórmula é válida para (n=k+1) .

Isto é:

1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=[\frac{n(n+1)}{2}]^2 , \forall n\in\mathbb{N^*} .









Nenhum comentário:

Postar um comentário