Prove que
1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=[\frac{n(n+1)}{2}]^2 , \forall n\in\mathbb{N^*} .
Base da indução (n=1)
1^3=[\frac{1(1+1)}{2}]^2=1 , Verdadeiro.
Hipótese de indução (n=k)
1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3=[\frac{k(k+1)}{2}]^2
Tese de indução (n=k+1)
Vamos provar para (n=k+1) .
1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3+(k+1)^3=[\frac{k(k+1)}{2}]^2+(k+1)^3
Vamos somar [\frac{k(k+1)}{2}]^2+(k+1)^3
\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}=
\frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}=[\frac{(k+1)(k+2)}{2}]^2
Assim provamos que a fórmula é válida para (n=k+1) .
Isto é:
1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=[\frac{n(n+1)}{2}]^2 , \forall n\in\mathbb{N^*} .
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