Considerando o desenvolvimento (1+i)^n calcule o valor da soma S=\binom{n}{0}-\binom{n}{2}+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}+\cdots :
Observação : i^2=-1
Obtendo a expansão do binômio de Newton de (1+i)^n , obtemos:
(1+i)^n=
\binom{n}{0}i^0+\binom{n}{1}i^1+\binom{n}{2}i^2+\binom{n}{3}i^3+\binom{n}{4}i^4+\binom{n}{5}i^5+\binom{n}{6}i^6+\cdots
Temos
i^0=1
i^1=i
i^2=-1
i^3=-i
i^4=1
i^5=i
Assim , substituindo na expansão, ficamos com:
\binom{n}{0}i+\binom{n}{1}i^1+\binom{n}{2}i^2+\binom{n}{3}i^3+\binom{n}{4}i^4+\binom{n}{5}i^5+\binom{n}{6}i^6+\cdots
Assim , temos:
\binom{n}{0}+\binom{n}{1}i -\binom{n}{2}-\binom{n}{3}i+\binom{n}{4}+\binom{n}{5}i-\binom{n}{6}+\cdots
Reorganizando:
\binom{n}{0}-\binom{n}{2} +i[\binom{n}{1}-\binom{n}{3}]+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}-i[\binom{n}{5}-\binom{n}{7}]+\cdots
Colocando o número complexo (1+1)^n na forma trigonométrica , temos:
(1+i)^n=(\sqrt 2)^n (cos \frac{n\pi}{4}+i sen \frac{n\pi}{4})
Concluímos que S=\binom{n}{0}-\binom{n}{2}+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}+\cdots é a parte real do número complexo (1+1)^n.
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S=\binom{n}{0}-\binom{n}{2}+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}+\cdots=(\sqrt 2)^n cos \frac{n\pi}{4}
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