Processing math: 100%

domingo, 8 de março de 2020

Números complexos

Considerando o desenvolvimento (1+i)^n calcule o valor da soma  S=\binom{n}{0}-\binom{n}{2}+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}+\cdots :
Observação : i^2=-1


Obtendo a expansão do binômio de Newton de (1+i)^n , obtemos:
(1+i)^n=
\binom{n}{0}i^0+\binom{n}{1}i^1+\binom{n}{2}i^2+\binom{n}{3}i^3+\binom{n}{4}i^4+\binom{n}{5}i^5+\binom{n}{6}i^6+\cdots

Temos
i^0=1
i^1=i
i^2=-1
i^3=-i
i^4=1
i^5=i

Assim , substituindo na expansão, ficamos com:

\binom{n}{0}i+\binom{n}{1}i^1+\binom{n}{2}i^2+\binom{n}{3}i^3+\binom{n}{4}i^4+\binom{n}{5}i^5+\binom{n}{6}i^6+\cdots

Assim , temos:
\binom{n}{0}+\binom{n}{1}i -\binom{n}{2}-\binom{n}{3}i+\binom{n}{4}+\binom{n}{5}i-\binom{n}{6}+\cdots

Reorganizando:

\binom{n}{0}-\binom{n}{2} +i[\binom{n}{1}-\binom{n}{3}]+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}-i[\binom{n}{5}-\binom{n}{7}]+\cdots

Colocando o número complexo  (1+1)^n na forma trigonométrica , temos:
(1+i)^n=(\sqrt 2)^n (cos \frac{n\pi}{4}+i sen \frac{n\pi}{4})

Concluímos que S=\binom{n}{0}-\binom{n}{2}+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}+\cdots  é a parte real do número complexo (1+1)^n.
Logo
S=\binom{n}{0}-\binom{n}{2}+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}+\cdots=(\sqrt 2)^n cos \frac{n\pi}{4}

Nenhum comentário:

Postar um comentário