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sábado, 12 de setembro de 2015

Formas quadráticas

Consideremos uma partícula de massa m deslocando-se no espaço com velocidade v=(v_x,v_y,v_z)A energia cinética que esse corpo possui é dada pela expressão :

E_c=\frac{m||v||^2}{2}=\frac{m}{2}(\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2)}^2

E_c=\frac{m}{2}.{v_x}^2+\frac{m}{2}.{v_y}^2+\frac{m}{2}.{v_z}^2=

=\begin{bmatrix} v_x & v_y & v_z \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  \frac{m}{2}& 0 &0 \\ 0 &\frac{m}{2}  & 0\\ 0 &0  &\frac{m}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_x\\ v_y \\ v_z \end{bmatrix}


Dessa forma, a energia cinética pode ser interpretada como uma função ( que não é linear) da velocidade .

Temos:
\mathbb{R} ^3\rightarrow\mathbb{R}
(v_x,v_y,v_z)\longrightarrow\frac{m}{2}.{v_x}^2+\frac{m}{2}.{v_y}^2+\frac{m}{2}.{v_z}^2

Se considerarmos , agora, a aplicação bilinear simétrica
B:\mathbb{R} ^3\times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}
cuja expressão é:
B((v_x,v_y,v_z)(w_x,w_y,w_z)=\begin{bmatrix} v_x & v_y & v_z \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  \frac{m}{2}& 0 &0 \\ 0 &\frac{m}{2}  & 0\\ 0 &0  &\frac{m}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} w_x\\ w_y \\ w_z \end{bmatrix}

observamos que
E_c(v_x,v_y,v_z)=B((v_x,v_y,v_z)(v_x,v_y,v_z)

Expressões que se comportam como a da energia cinética , isto, é que provêm de formas bilineares simétricas , recebem o nome de formas quadráticas .


Texto retirado de Álgebra Linear de Boldrini/Costa & Figueiredo/Wetzler










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