Consideremos uma partícula de massa m deslocando-se no espaço com velocidade v=(v_x,v_y,v_z)A energia cinética que esse corpo possui é dada pela expressão :
E_c=\frac{m||v||^2}{2}=\frac{m}{2}(\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2)}^2
E_c=\frac{m}{2}.{v_x}^2+\frac{m}{2}.{v_y}^2+\frac{m}{2}.{v_z}^2=
=\begin{bmatrix}
v_x & v_y & v_z
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\frac{m}{2}& 0 &0 \\
0 &\frac{m}{2} & 0\\
0 &0 &\frac{m}{2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
v_x\\ v_y
\\ v_z
\end{bmatrix}
Dessa forma, a energia cinética pode ser interpretada como uma função ( que não é linear) da velocidade .
Temos:
\mathbb{R} ^3\rightarrow\mathbb{R}
(v_x,v_y,v_z)\longrightarrow\frac{m}{2}.{v_x}^2+\frac{m}{2}.{v_y}^2+\frac{m}{2}.{v_z}^2
Se considerarmos , agora, a aplicação bilinear simétrica
B:\mathbb{R} ^3\times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}
cuja expressão é:
B((v_x,v_y,v_z)(w_x,w_y,w_z)=\begin{bmatrix}
v_x & v_y & v_z
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\frac{m}{2}& 0 &0 \\
0 &\frac{m}{2} & 0\\
0 &0 &\frac{m}{2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
w_x\\ w_y
\\ w_z
\end{bmatrix}
observamos que
E_c(v_x,v_y,v_z)=B((v_x,v_y,v_z)(v_x,v_y,v_z)
Expressões que se comportam como a da energia cinética , isto, é que provêm de formas bilineares simétricas , recebem o nome de formas quadráticas .
Texto retirado de Álgebra Linear de Boldrini/Costa & Figueiredo/Wetzler
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