Formas quadráticas

Consideremos uma partícula de massa $m$ deslocando-se no espaço com velocidade $v=(v_x,v_y,v_z)$A energia cinética que esse corpo possui é dada pela expressão :

$$E_c=\frac{m||v||^2}{2}=\frac{m}{2}(\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2)}^2$$

$$E_c=\frac{m}{2}.{v_x}^2+\frac{m}{2}.{v_y}^2+\frac{m}{2}.{v_z}^2$$=

=$\begin{bmatrix}
v_x & v_y & v_z
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 \frac{m}{2}& 0 &0 \\
0 &\frac{m}{2}  & 0\\
0 &0  &\frac{m}{2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
v_x\\ v_y
\\ v_z

\end{bmatrix}$


Dessa forma, a energia cinética pode ser interpretada como uma função ( que não é linear) da velocidade .

Temos:
$$\mathbb{R} ^3\rightarrow\mathbb{R} $$
$$(v_x,v_y,v_z)\longrightarrow\frac{m}{2}.{v_x}^2+\frac{m}{2}.{v_y}^2+\frac{m}{2}.{v_z}^2$$

Se considerarmos , agora, a aplicação bilinear simétrica
$$B:\mathbb{R} ^3\times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$$
cuja expressão é:
$B((v_x,v_y,v_z)(w_x,w_y,w_z)=\begin{bmatrix}
v_x & v_y & v_z
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 \frac{m}{2}& 0 &0 \\
0 &\frac{m}{2}  & 0\\
0 &0  &\frac{m}{2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
w_x\\ w_y
\\ w_z


\end{bmatrix}$

observamos que
$$E_c(v_x,v_y,v_z)=B((v_x,v_y,v_z)(v_x,v_y,v_z)$$

Expressões que se comportam como a da energia cinética , isto, é que provêm de formas bilineares simétricas , recebem o nome de formas quadráticas .


Texto retirado de Álgebra Linear de Boldrini/Costa & Figueiredo/Wetzler