domingo, 2 de junho de 2013

Bijeções(Matemática do Infinito)

Bijeção é um conceito muito importante em em álgebra, análise e em várias áreas da matemática, mas o que é uma bijeção ?

Segundo Elon Lages Lima em seu Curso de Análise Vol 1 , uma bijeção $\Phi: \mathbb{I_n}\rightarrow\ \mathbb{X}$ significa uma contagem dos elementos de $\mathbb{X}$ .

Por meio de bijeções pode-se ver que conjuntos diferentes tem o mesmo número de elementos, isto é a mesma cardinalidade.Como $\mathbb{N}$ e $\mathbb{P}$ "conjunto dos naturais pares" podem ter  a mesma cardinalidade ?

Podemos estabelecer uma correspondência $1\rightarrow2$,  $2\rightarrow4$,$ \ldots n\rightarrow2n$

Certamente é uma bijeção que faz corresponder cada número ao seu dobro.
Certamente cada número par tem divisor  e cada número tem o seu valor duplicado no conjunto $\mathbb{P}$ .

Este exemplo mostra que estes dois conjuntos $\mathbb{N}$ e $\mathbb{P}$ que tem infinitos elementos possuem a mesma cardinalidade.
Fato curioso é de que "aparentemente" eles possuem cardinalidades diferentes , o que não é verdade.
O exemplo mostrado acima também ilustra que a matemática do infinito reserva alguns mistérios que muitas vezes pode nos induzir ao erro, como a este aparente paradoxo.




6 comentários:

  1. Muito bom! Um fato curioso, que até já comentei com você uma vez, é que a reta possui a mesma cardinalidade do plano. E lembro de você ter me perguntado se isto se generalizava para o $\mathbb{R}^n$, e sim, se generaliza. Um fato que considero tão curioso quanto o da cardinalidade do plano é que existe uma curva que cobre todo o plano, isto é, existe uma função contínua que vai da reta no plano. É a chamada curva de Peano. Isto me assusta um pouco... rsrsrs

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Corrigindo o meu entusiasmo: existe uma curva que cobre um quadrado por completo, i.e., existe função contínua de $[0,1]$ em $[0,1]\times [0,1]$.

      Excluir
  2. Respostas
    1. Não, pq não é bijetivo. Aí seria putaria de mais se a reta fosse homeomorfa ao quadro... kkkkkk

      Excluir
  3. pra ter a mesma cardinalidade tem de ser uma bijeção , certo ?

    ResponderExcluir