Estudando sequências, este belo tema, resolvi provar o teorema do confronto ("teorema do sanduíche ") para sequências.

Sejam ${x_n}\leq{z_n}\leq{y_n}$ para todo $n\in\mathbb{N}$.

Se $\lim{x_n}=\lim{y_n}=a$  então  $\lim{z_n}=a$

Prova:

$\forall \epsilon >0 \exists \ n_0\in\mathbb{N}:\ n>n_0\rightarrow|x_n-a|<\epsilon$

$\forall \epsilon >0 \exists \ n_1\in\mathbb{N}:\ n>n_1\rightarrow|y_n-a|<\epsilon$

Tomando  $n> n_2=max\{n_0,n_1\}$ temos :

$a-\epsilon<{x_n}<a+\epsilon$ e

$a-\epsilon<{y_n}<a+\epsilon$ mas,

${x_n}\leq{z_n}\leq{y_n}$ então

$a-\epsilon<{x_n}\leq{z_n}\leq{y_n}<a+\epsilon$ , isto é,

$a-\epsilon<{z_n}<a+\epsilon$

Então $\forall \epsilon >0 \exists \ n_2\in\mathbb{N}:\ n>n_2\rightarrow|z_n-a|<\epsilon$ , ou seja,

$lim\,{z_n}=a$

Como queríamos demonstrar.