Um pouco de análise.
 Sequências Convergentes: Uma sequência $\{a_n\} $ diz-se convergente se:
 $\forall \epsilon >0\; \exists n_0 \in\mathbb{N}:\ n>n_0 \Rightarrow |a_n-L|<\epsilon $ onde L é o limite da sequência.
 A partir da definição de sequência convergente, já podemos provar o teorema seguinte que afirma :
  Sejam $\{a_n\} e \{b_n\}$ duas sequências convergentes , então $\{a_n\} + \{b_n\}$ é também 
convergente.

Demonstração

Sabemos que $\{a_n\} e \{b_n\}$ são sequências convergentes, então :

$\forall \epsilon >0\; \exists n_1 \in\mathbb{N}:\ n>n_1 \Rightarrow |a_n-L|<\frac{\epsilon}{2}$

e

$\forall \epsilon >0\; \exists n_2 \in\mathbb{N}:\ n>n_2 \Rightarrow |b_n-M|<\frac{\epsilon}{2}$





Então $\forall \epsilon >0\; \exists p=max\{n_0,n_1\};\, n>p $




$ |a_n+b_n-(L+M)|=|a_n-L+b_n-M|\leq |a_n-L|+|b_n-M|<\epsilon$

O que prova que a soma de duas sequências convergentes também é convergente.

Exemplo:

$a_n=1+1/n$

e $b_n= 3+3/n^2$

Sabemos do Cálculo que ${a_n}$ e ${b_n}$ convergem para os limites 1 e 3 , respectivamente.

${a_n}+{b_n}= 1+1/n+3+3/n^2=4+1/n+3/n^2$

vamos chamar ${a_n}+{b_n}$ de ${c_n}$=$4+1/n+3/n^2$

${c_n}$ também converge ,no caso, para o número 4.

Na verdade o exemplo só ilustra o que fora demonstrado, satisfeitas as hipóteses do teorema, pode-se garantir que ele é válido para qualquer sequência convergente.