quarta-feira, 11 de maio de 2016

Representação matricial de Transformações Lineares

Seja o espaço vetorial de funções de variável real e um conjunto linearmente independente que gera um subespaço $V$ de dimensão finita.

Vamos considerar a base (sen x , cos x) .

Seja o operador diferenciação $D:V\longrightarrow V$. Vamos calcular a matriz relativa a esse operador.
Um elemento de $V$ é obtido como uma combinação linear da forma $a.senx +b.cos x$.

Vamos derivar:

$D(senx)=cos x$, reorganizando como combinação linear , ficamos com $0.senx+1.cos x$

Similarmente ,

$D(cos x)=-sen x$ , reorganizando como combinação linear ,ficamos $-1.senx+0.cos x$.

Agora que vem a cereja do bolo , o momento mais esperado.
 Reparem
$0.sen x+1.cos x$
$-1.sen x+0.cos x$.
nos coeficientes, em $ senx $ e $cos x$.

Os coeficientes de  $0.sen x+1.cos x$ determinam a 1ª coluna e os coeficientes de $-1.sen x+0.cos x$ determinam a 2 ª coluna na representação matricial de $D$.Portanto a matriz que representa a transformação $D:V\longrightarrow V$ é:
$$\begin{bmatrix}
0 &-1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}$$



quinta-feira, 17 de setembro de 2015

Princípio da Casa dos Pombos

Princípio da Casa dos Pombos ou Princípio das Gavetas de Dirichlet  nos diz que para colocarmos $n+1$ pombos em $n$ gaiolas , pelo menos uma gaiola deverá conter pelo menos dois pombos.


Este princípio , embora bastante intuitivo e de fácil compreensão , pode ser uma ferramenta poderosa na solução de problemas difíceis da matemática.

Vamos ilustrar uma aplicação do Princípio da Casa dos Pombos  na teoria dos números.

Exemplo 

Mostrar que todo subconjunto de $\{1,2,\cdots , 2n\}$ contendo $n+1$ elementos , possui um par de elementos primos entre si.
Basta notar que os únicos subconjuntos de  $\{1,2,\cdots , 2n\}$ contendo $n$ elementos , não-consecutivos , são   $\{1,3,\cdots , 2n-1\}$ e   $\{2,4,\cdots , 2n\}$. Logo , se tomarmos um subconjunto com $n+1$ elementos, de fato , teremos dois elementos consecutivos e como o máximo divisor comum de dois números consecutivos é $1$ , concluímos que estes números são primos entre si.

Referências
Introdução à Teoria dos Números
José Plínio de Oliveira Santos

sábado, 12 de setembro de 2015

Formas quadráticas

Consideremos uma partícula de massa $m$ deslocando-se no espaço com velocidade $v=(v_x,v_y,v_z)$A energia cinética que esse corpo possui é dada pela expressão :

$$E_c=\frac{m||v||^2}{2}=\frac{m}{2}(\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2)}^2$$

$$E_c=\frac{m}{2}.{v_x}^2+\frac{m}{2}.{v_y}^2+\frac{m}{2}.{v_z}^2$$=

=$\begin{bmatrix}
v_x & v_y & v_z
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 \frac{m}{2}& 0 &0 \\
0 &\frac{m}{2}  & 0\\
0 &0  &\frac{m}{2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
v_x\\ v_y
\\ v_z

\end{bmatrix}$


Dessa forma, a energia cinética pode ser interpretada como uma função ( que não é linear) da velocidade .

Temos:
$$\mathbb{R} ^3\rightarrow\mathbb{R} $$
$$(v_x,v_y,v_z)\longrightarrow\frac{m}{2}.{v_x}^2+\frac{m}{2}.{v_y}^2+\frac{m}{2}.{v_z}^2$$

Se considerarmos , agora, a aplicação bilinear simétrica
$$B:\mathbb{R} ^3\times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$$
cuja expressão é:
$B((v_x,v_y,v_z)(w_x,w_y,w_z)=\begin{bmatrix}
v_x & v_y & v_z
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 \frac{m}{2}& 0 &0 \\
0 &\frac{m}{2}  & 0\\
0 &0  &\frac{m}{2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
w_x\\ w_y
\\ w_z


\end{bmatrix}$

observamos que
$$E_c(v_x,v_y,v_z)=B((v_x,v_y,v_z)(v_x,v_y,v_z)$$

Expressões que se comportam como a da energia cinética , isto, é que provêm de formas bilineares simétricas , recebem o nome de formas quadráticas .


Texto retirado de Álgebra Linear de Boldrini/Costa & Figueiredo/Wetzler










sexta-feira, 11 de setembro de 2015

Contração de arestas ( Teoria de grafos)


No exemplo ilustrado acima, temos a contração da aresta $e$ , obtendo assim o grafo à direita na mesma imagem.  A contração de arestas é muito útil , pois podemos calcular o polinômio cromático associado a um grafo.

sexta-feira, 27 de março de 2015

Teoria de Grafos



Mostre que , para qualquer grafo $G$ tem-se $\delta(G)\leq d(G)\leq \Delta(G)$.

Seja $G$ um grafo no qual   $v_1,v_2\cdots,v_n$
são seus vértices e $d_1,d_2,\cdots,d_n$ são seus respectivos graus.

Sabemos que o grau médio de um  grafo é dado por :
$$d(G)=\frac{\sum_{v\in G} d(v)}{n}$$
Como $$d(G)=\frac{d_1+d_2+\cdots+d_n}{n}$$



Como  $\delta(G)\leq d_i $ para $1\leq 1\leq n$

e $\Delta(G)\geq d_i$ para $1\leq 1\leq n$.

Assim
$$\frac{ n \delta(G)}{n}\leq d(G)=\frac{d_1+d_2+\cdots+d_n}{n}\leq \frac{n \Delta(G)}{n}.$$

$$ \delta(G)\leq d(G)=\frac{d_1+d_2+\cdots+d_n}{n}\leq  \Delta(G).$$

$$ \delta(G)\leq d(G)\leq \Delta(G).\blacksquare$$


                                                                   

quarta-feira, 11 de março de 2015

Família de soluções

Considere a equação diferencial
$$ \frac{dy}{dx}=y$$

Sua solução é dada por :

$$y(x)=Ae^x$$

O gráfico abaixo representa a família de soluções da EQ .1

quarta-feira, 4 de março de 2015

Equações Diferenciais separáveis

Uma equação diferencial é dita separável ou de  variáveis separáveis  se pode ser escrita na forma :
$$\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{f(y)}$$

Método  de Resolução

Seja a equação diferencial de primeira ordem $y'=\frac{dy}{dx}=f(x)$.Podemos obter a solução geral desa equação por separação de variáveis.

$y'=\frac{dy}{dx}=f(x)\Rightarrow dy=f(x) dx$

Integrando, temos:

$\int dy=\int f(x) dx $

$y=\int f(x) dx +C $

onde $C$ é a  constante de integração.