Representação matricial de Transformações Lineares

Seja o espaço vetorial de funções de variável real e um conjunto linearmente independente que gera um subespaço $V$ de dimensão finita.

Vamos considerar a base (sen x , cos x) .

Seja o operador diferenciação $D:V\longrightarrow V$. Vamos calcular a matriz relativa a esse operador.
Um elemento de $V$ é obtido como uma combinação linear da forma $a.senx +b.cos x$.

Vamos derivar:

$D(senx)=cos x$, reorganizando como combinação linear , ficamos com $0.senx+1.cos x$

Similarmente ,

$D(cos x)=-sen x$ , reorganizando como combinação linear ,ficamos $-1.senx+0.cos x$.

Agora que vem a cereja do bolo , o momento mais esperado.
 Reparem
$0.sen x+1.cos x$
$-1.sen x+0.cos x$.
nos coeficientes, em $senx$ e $cos x$.

Os coeficientes de  $0.sen x+1.cos x$ determinam a 1ª coluna e os coeficientes de $-1.sen x+0.cos x$ determinam a 2 ª coluna na representação matricial de $D$.Portanto a matriz que representa a transformação $D:V\longrightarrow V$ é:
$$\begin{bmatrix} 0 &-1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$