Considere $\;a_n$ uma sequência real definida por :

$\;a_1=\sqrt{2}$ e em geral $\;a_{n+1}=\sqrt{2+\;a_n}$ , $n\in\mathbb{N}$

Prove que a sequência converge.

Para provar que a sequência dada acima converge , precisamos mostrar que ela é monótona e limitada.

Vamos mostrar primeiramente que é monótona .

Como $\;a_1=\sqrt{2}$ e $a_2=\sqrt{2+\;\sqrt{2}}$, vamos supor  $a_{n+1}>a_n$.

Assim $2+a_{n+1}>2+a_n$ então $\sqrt{2+a_{n+1}}>\sqrt{2+a_n}$ , logo $a_{n+2}>a_{n+1}$.

Assim , via indução finita mostramos que tal sequência é monótona.

Resta agora mostrar que é limitada .

Sabemos que é uma sequência crescente  , como fora provado, então $a_n\geq\sqrt{2}$

Vamos mostrar que é $a_n$ é menor que 3 para todo $n\in\mathbb{N}$ .

$a_n<3<$ , então $2+a_n<5$, logo $\sqrt{2+a_n} <\sqrt{5}<3$, assim $a_{n+1}<\sqrt{5}<3$

Agora que já mostramos que a sequência é monótona e limitada , podemos garantir a existência do limite e assim o calcularmos.

$L=\sqrt{2+L}$, então $L^2=2+L$ então $L^2-L-2=0$, assim o limite $L$ é igual a 2.