Sejam A_1, A_2\cdots\;A_n conjuntos não-vazios e limitados superiormente.
Prove que sup(A_1+A_2+\cdots+A_n)=sup(A_1)+sup(A_2)+\cdots+sup(A_n)
Demonstração
Vamos utilizar o Axioma do Supremo que afirma :
Todo subconjunto não-vazio de números reais limitado superiormente admite supremo.
Se A_1 é não-vazio e limitado superiormente, então admite supremo.
Assim para todo x_1 em A_1 tem-se x_1\leq sup( A_1)
Para todo x_2 em A_2 tem-se x_2\leq sup (A_2)
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Para todo x_n em A_n tem-se x_n \leq sup (A_n)
Dessa forma
Para todo \epsilon>0 existe x_1 em A_1 tal que x_1+\frac{\epsilon}{n} >sup(A_1)
Para todo \epsilon>0 existe x_2 em A_2 tal que x_2+\frac{\epsilon}{n}>sup(A_2)
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Para todo \epsilon>0 existe x_n em A_n tal que x_n+\frac{\epsilon}{n}>sup(A_n)
Assim x_1+x_2+\cdots\;+x_n+\epsilon>sup(A_1)+sup(A_2)+\cdots+sup(A_n)
Dessa forma mostramos que sup(A_1)+sup(A_2)+\cdots+sup(A_n) é a menor cota superior, logo supremo de A_1+A_2+\cdots+A_n .
Isto mostra que sup(A_1+A_2+\cdots+A_n)=sup(A_1)+sup(A_2)+\cdots+sup(A_n)
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