Supremo

Sejam $A_1, A_2\cdots\;A_n$ conjuntos não-vazios e limitados superiormente.

Prove que $sup(A_1+A_2+\cdots+A_n)=sup(A_1)+sup(A_2)+\cdots+sup(A_n)$

Demonstração

Vamos utilizar o Axioma do Supremo que afirma :

Todo subconjunto não-vazio de números reais limitado superiormente admite supremo.

Se $A_1$ é não-vazio e limitado superiormente, então admite supremo.

Assim para todo $x_1$ em $A_1$ tem-se $x_1\leq sup( A_1)$

Para todo $x_2$ em $A_2$ tem-se $x_2\leq sup (A_2)$
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Para todo $x_n$ em $A_n$ tem-se $x_n \leq sup (A_n)$


Dessa forma
 Para todo $\epsilon>0$  existe $x_1$ em $A_1$ tal que  $x_1+\frac{\epsilon}{n} >sup(A_1)$

     Para todo $\epsilon>0$  existe $x_2$ em $A_2$    tal que       $x_2+\frac{\epsilon}{n}>sup(A_2)$
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  Para todo $\epsilon>0$  existe $x_n$ em $A_n$ tal que $x_n+\frac{\epsilon}{n}>sup(A_n)$

Assim $x_1+x_2+\cdots\;+x_n+\epsilon>sup(A_1)+sup(A_2)+\cdots+sup(A_n)$

Dessa forma mostramos que $sup(A_1)+sup(A_2)+\cdots+sup(A_n)$ é a menor cota superior, logo supremo de $A_1+A_2+\cdots+A_n $.

Isto mostra que $sup(A_1+A_2+\cdots+A_n)=sup(A_1)+sup(A_2)+\cdots+sup(A_n)$