Teoria dos Números (Exercício)

Encontrar todos os inteiros positivos $n$ para os quais $(n+1)\mid(n^2+1)$.

Para encontras esses inteiros  vamos utilizar  propriedades dos números inteiros.

$(n+1)\mid(n^2+1 -n(n+1))$ , então $(n+1)\mid(1-n)$, então  $(n+1)\mid(n-1)$ , procedendo da

mesma forma $(n+1)\mid(n-1-(n+1))$, assim $(n+1)\mid(-2)$, então $(n+1)\mid 2$, assim

$n+1=1$ ou $n+1=-1$ ou $n+1=2$ ou $n+1=-2$ , dessa forma $n=0$ ou $n=-2$ ou $n=1$ ou $n=-3$.

Agora vamos testar os valores.

Para $n=0$ , então $1\mid1$ .

Para $n=-2$ , então $-1\mid5$.

Para $n=1$, então $2\mid2$ .

Para $n=-3$, então $-2\mid10$ .

Logo estes quatro valores são os valores para os quais $(n+1)\mid(n^2+1)$ .