Séries

Prove que , se $a_n\geq 0$ e $\sum a_n$ converge, então $\sum\frac{a_n^2}{1+a_n^2}$ converge.

Demonstração

Como $a_n\geq 0$ e $\sum a_n$ converge , então $lim\; a_n=0$

Assim $0\leq a_n<1$ para n suficientemente grande.

Multiplicando a última desigualdade por $a_n$ fica

$0\leq a_n^2<a_n$ para n suficientemente grande.Pelo critério de comparação $\sum\;a_n^2$ converge.

Somando 1 à última desigualdade fica

$1\leq a_n^2+1<a_n+1$

Assim $\frac{1}{a_n^2+1}<1$, mutliplicando por $a_n^2$  fica $\frac{a_n^2}{a_n^2+1}<a_n^2$ para n suficientemente grande.

Como mostramos que $\sum\;a_n^2$ converge , pelo critério de comparação $\sum\frac{a_n^2}{1+a_n^2}$ também converge .