Continuidade Uniforme

Prove que $f:(a,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ com $a>0$ definida por $f(x)=\sqrt{x}$ é uniformemente contínua.

Sabemos que $x , y >a$ .



$|\sqrt{x}-\sqrt{y}|=\frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}<\frac{|x-y|}{\sqrt{a}+\sqrt{a}}<\epsilon$

Como $x >a$ , então $\sqrt{x}>\sqrt{a}$ e  $y>a$ ,  então $\sqrt{y}>\sqrt{a}$.

Assim $\sqrt{x}+\sqrt{y}>\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}$


Então

$\frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}<\frac{|x-y|}{2\sqrt{a}}<\epsilon$.

Assim $|x-y|<{2\sqrt{a}}\epsilon$ .

Dessa forma escolhendo $\delta={2\sqrt{a}}\epsilon$  a continuidade uniforme de $f(x)$ é garantida.