Assustado com aquela integral monstruosa que caiu na sua prova de cálculo? Se a resposta for sim, talvez uma dica pode acabar com todos os seus problemas para sempre.

Primeiramente vamos recordar o que é uma função par e uma função ímpar.


Uma função f é dita par se $\forall x\in D_f$ temos$f(x)=f(-x)$ .
Analogamente
Uma função é dita ímpar se $\forall x\in D_f$ temos $f(x)=-f(-x)$.

Queremos mostrar que integrais definidas em intervalos de integração simétricos tem seus cálculos facilitados  quando o estudante possui o conhecimento de funções pares e ímpares.

Vamos mostrar que  se f é uma função contínua em $\,[ -a , a]\,,a>0$ então:

$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=2\int_{0}^{a} f(x) \,dx$ quando a função é par, ou seja, $f(x)=f(-x)$

Vemos que:
$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=\int_{-a}^{0} f(x)\,dx +\int_{0}^{a} f(x)\,dx$ e sabemos que $f(x)=f(-x)$

Então $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=\int_{-a}^{0} f(-x)\,dx+\int_{0}^{a} f(x)\,dx$, fazendo mudança de variável em $\int_{-a}^{0} f(-x)$  temos:

 $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=\int_{0}^{a}f(x)\,dx+\int_{0}^{a} f(x)\,dx$
Logo

 $\int_{-a}^{a} f(x)dx=2 \int_{0}^{a} f(x)dx$ quando $f(x)$ é par

Obs: Para$f(x)=f(-x)$  , $\int_{-a}^{0}f(x)\,dx=\int_{-a}^{0}f(-x)\,dx=\int_{0}^{-(-a)}f(u)\,du=\int_{0}^{a}f(x)\,dx .$


Similarmente faremos no caso da função ímpar , ou seja, $f(x)=-f(-x)$

Queremos mostrar que  se f é contínua em $\,[ -a , a ]\,,a>0\,$ , então:

$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$ quando $f(x)=-f(-x)$

Então

$\int_{-a}^{a}f(x) dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{a}dx=-\int_{-a}^{0}f(-x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx$

Fazendo a mudança de variável temos:

$\int_{-a}^{a}f(x)\, dx=-\int_{0}^{a}f(x)\, dx+\int_{0}^{a}f(x) \,dx=0$
Logo
$\int_{-a}^{a}f(x)\, dx=0$ quando $f(x)$ é ímpar

Obs: Para$f(x)=-f(-x)$  , $\int_{-a}^{0}f(x)\,dx=\int_{-a}^{0}-f(-x)\,dx=-\int_{0}^{-(-a)}f(u)\,du=-\int_{0}^{a}f(x)\,dx .$


Agora o mais interessante ; as aplicações !

Aquela integral que você não faz ideia de onde surgiu, que tira sua noite de sono.

$\int_{-10}^{10}x^{20} senx\, dx$

Perceba que o intervalo é simétrico de -10 a 10 e outro detalhe $x^{20}$ é uma função par e $senx$ é uma função ímpar , além disso o produto de uma função par por uma função ímpar é uma função ímpar.

Pelo que mostramos $\int_{-a}^{a}f(x) \,dx=0$  quando $f(x)=-f(-x)$

A integral definida $\int_{-10}^{10}x^{20} senx\, dx$ é zero !

Ah , se você tentasse por integração por partes, demoraria um tempo quase $\infty$ .