Limite do produto de sequências

Se $lim\; x_n=L$ e $lim\;y_n=M$

Então $lim\;x_n.\;y_n=LM$

Demonstração:

Fazemos uma manipulação de forma a obter uma desigualdade desejável



$|x_n\;y_n -LM|=|x_n\;y_n-L\;y_n+L\;y_n-LM|\leqslant$

$\leqslant\;|x_n\;y_n-L\;y_n|+|L\;y_n-L\;M|=|y_n||x_n-L|+|L||y_n-M|$

Um teorema aqui é importante : Toda sequência convergente é limitada .

Então $x_n\; e\; y_n$ são sequências limitadas , já que convergem, usando o teorema que foi enunciando sem demonstração.

Como $x_n$ converge para $L$ , então;

$\forall \epsilon >0 \exists \ n_0\in\mathbb{N}:\ n>n_0\rightarrow|x_n-L|<\frac{\epsilon}{2c}$

                                                       e

Como $y_n$ converge para M , então:

$\forall \epsilon >0 \exists \ n_1\in\mathbb{N}:\ n>n_1\rightarrow|y_n-M|<\frac{\epsilon}{2|L|}$

Se $y_n$é limitada  então existe um  $c\;>0$ tal que $|y_n|\leqslant\;c$.

Assim seja $n_0=max\{n_1,n_2\}$.

Então:

$\forall \epsilon >0 \exists \ n_0\in\mathbb{N}:\ n>n_0\rightarrow|x_n\;y_n -LM|\leqslant$

$\leqslant|y_n||x_n-L|+|L||y_n-M|<c.\frac{\epsilon}{2c} +|L|.\frac{\epsilon}{2|L|} =\epsilon$

De forma resumida

$\forall \epsilon >0 \exists \ n_0\in\mathbb{N}:\ n>n_0\rightarrow|x_n\;y_n -LM|<\epsilon$

Isto prova que $lim\;x_n.\;y_n=LM$

Referências

Texto de Rodrigo Carlos Silva de Lima
Texto de Rodrigo Carlos Silva de Lima

Análise Real -Volume 1 ( Funções de Uma Variável) Elon Lages Lima