Processing math: 0%

quinta-feira, 25 de julho de 2013

Teoremas de limites sobre funções

Se \lim_{x \to \infty }\; f(x)=L   e \lim_{x \to \infty }\;g(x)=+\infty  com L>0.

Assim \lim_{x \to \infty }f(x).g(x)=+\infty


Demonstração


Sabemos que se x>A_1 \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon com A_1>0 e  \epsilon>0 .
Assim  escolhendo \epsilon igual a \frac{L}{2}, conseguimos obter |f(x)-L|<\frac{L}{2}

Dessa forma -\frac{L}{2} <f(x)-L<\frac{L}{2}\Rightarrow-\frac{L}{2}+L<f(x)<\frac{L}{2}+L

Então  \frac{L}{2}<f(x)<\frac{3L}{2}


Assim f(x)>\frac{L}{2}


f(x)>\frac{L}{2} quando   x>A_1

Além disso

  x>A_2\Rightarrow\;g(x)>\epsilon\frac{2}{L} com  com A_2>0

Tomando A=max\{A_1,A_2\}

Assim para x>A\Rightarrow \;f(x).g(x)>\frac{L}{2}.\epsilon\frac{2}{L}=\epsilon

Em outras palavras

f(x).g(x)>\epsilon quando x>A .

O que finaliza o teorema.







Nenhum comentário:

Postar um comentário