Se \lim_{x \to \infty }\; f(x)=L e \lim_{x \to \infty }\;g(x)=+\infty com L>0.
Assim \lim_{x \to \infty }f(x).g(x)=+\infty
Demonstração
Sabemos que se x>A_1 \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon com A_1>0 e \epsilon>0 .
Assim escolhendo \epsilon igual a \frac{L}{2}, conseguimos obter |f(x)-L|<\frac{L}{2}
Dessa forma -\frac{L}{2} <f(x)-L<\frac{L}{2}\Rightarrow-\frac{L}{2}+L<f(x)<\frac{L}{2}+L
Então \frac{L}{2}<f(x)<\frac{3L}{2}
Assim f(x)>\frac{L}{2}
f(x)>\frac{L}{2} quando x>A_1
Além disso
x>A_2\Rightarrow\;g(x)>\epsilon\frac{2}{L} com com A_2>0
Tomando A=max\{A_1,A_2\}
Assim para x>A\Rightarrow \;f(x).g(x)>\frac{L}{2}.\epsilon\frac{2}{L}=\epsilon
Em outras palavras
f(x).g(x)>\epsilon quando x>A .
O que finaliza o teorema.
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