Teoremas de limites sobre funções

Se $\lim_{x \to \infty }\; f(x)=L  $ e $\lim_{x \to \infty }\;g(x)=+\infty $  com $L>0$.

Assim $\lim_{x \to \infty }f(x).g(x)=+\infty $


Demonstração


Sabemos que se $ x>A_1 \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$ com $A_1>0$ e  $\epsilon>0 $.
Assim  escolhendo $\epsilon$ igual a $\frac{L}{2}$, conseguimos obter $ |f(x)-L|<\frac{L}{2}$

Dessa forma $-\frac{L}{2} <f(x)-L<\frac{L}{2}\Rightarrow-\frac{L}{2}+L<f(x)<\frac{L}{2}+L$

Então  $\frac{L}{2}<f(x)<\frac{3L}{2}$


Assim $f(x)>\frac{L}{2}$


$f(x)>\frac{L}{2}$ quando  $ x>A_1$

Além disso

 $ x>A_2\Rightarrow\;g(x)>\epsilon\frac{2}{L}$ com  com $A_2>0$

Tomando $A=max\{A_1,A_2\}$

Assim para $x>A\Rightarrow \;f(x).g(x)>\frac{L}{2}.\epsilon\frac{2}{L}=\epsilon$

Em outras palavras

$f(x).g(x)>\epsilon $ quando $x>A$ .

O que finaliza o teorema.