Assustado com aquela integral monstruosa que caiu na sua prova de cálculo? Se a resposta for sim, talvez uma dica pode acabar com todos os seus problemas para sempre.

Primeiramente vamos recordar o que é uma função par e uma função ímpar.


Uma função f é dita par se $\forall x\in D_f  $ temos$ f(x)=f(-x) $ .
Analogamente
Uma função é dita ímpar se $\forall x\in D_f  $ temos $f(x)=-f(-x)$.

Queremos mostrar que integrais definidas em intervalos de integração simétricos tem seus cálculos facilitados  quando o estudante possui o conhecimento de funções pares e ímpares.

Vamos mostrar que  se f é uma função contínua em $\,[ -a , a]\,,a>0$ então:

$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=2\int_{0}^{a} f(x) \,dx$ quando a função é par, ou seja, $f(x)=f(-x)$

Vemos que:
$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=\int_{-a}^{0} f(x)\,dx +\int_{0}^{a} f(x)\,dx$ e sabemos que $f(x)=f(-x)$

Então $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=\int_{-a}^{0} f(-x)\,dx+\int_{0}^{a} f(x)\,dx$, fazendo mudança de variável em $\int_{-a}^{0} f(-x)$  temos:

 $\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=\int_{0}^{a}f(x)\,dx+\int_{0}^{a} f(x)\,dx$
Logo

 $\int_{-a}^{a} f(x)dx=2 \int_{0}^{a} f(x)dx$ quando $f(x)$ é par

Obs: Para$ f(x)=f(-x)$  , $\int_{-a}^{0}f(x)\,dx=\int_{-a}^{0}f(-x)\,dx=\int_{0}^{-(-a)}f(u)\,du=\int_{0}^{a}f(x)\,dx .$


Similarmente faremos no caso da função ímpar , ou seja, $f(x)=-f(-x)$

Queremos mostrar que  se f é contínua em $\,[ -a , a ]\,,a>0\,$ , então:

$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$ quando $f(x)=-f(-x)$

Então

$\int_{-a}^{a}f(x) dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{a}dx=-\int_{-a}^{0}f(-x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx$

Fazendo a mudança de variável temos:

$\int_{-a}^{a}f(x)\, dx=-\int_{0}^{a}f(x)\, dx+\int_{0}^{a}f(x) \,dx=0$
Logo
$\int_{-a}^{a}f(x)\, dx=0 $ quando $f(x)$ é ímpar

Obs: Para$ f(x)=-f(-x)$  , $\int_{-a}^{0}f(x)\,dx=\int_{-a}^{0}-f(-x)\,dx=-\int_{0}^{-(-a)}f(u)\,du=-\int_{0}^{a}f(x)\,dx .$


Agora o mais interessante ; as aplicações !

Aquela integral que você não faz ideia de onde surgiu, que tira sua noite de sono.

$\int_{-10}^{10}x^{20} senx\, dx$

Perceba que o intervalo é simétrico de -10 a 10 e outro detalhe $x^{20}$ é uma função par e $senx$ é uma função ímpar , além disso o produto de uma função par por uma função ímpar é uma função ímpar.

Pelo que mostramos $\int_{-a}^{a}f(x) \,dx=0 $  quando $f(x)=-f(-x)$

A integral definida $\int_{-10}^{10}x^{20} senx\, dx $ é zero !

Ah , se você tentasse por integração por partes, demoraria um tempo quase $\infty$ .

Estudando sequências, este belo tema, resolvi provar o teorema do confronto ("teorema do sanduíche ") para sequências.

Sejam ${x_n}\leq{z_n}\leq{y_n}$ para todo $  n\in\mathbb{N} $.

Se $ \lim{x_n}=\lim{y_n}=a $  então  $ \lim{z_n}=a$

Prova:

$\forall \epsilon >0 \exists \ n_0\in\mathbb{N}:\ n>n_0\rightarrow|x_n-a|<\epsilon$

$\forall \epsilon >0 \exists \ n_1\in\mathbb{N}:\ n>n_1\rightarrow|y_n-a|<\epsilon$

Tomando  $ n> n_2=max\{n_0,n_1\}$ temos :

$ a-\epsilon<{x_n}<a+\epsilon$ e

$ a-\epsilon<{y_n}<a+\epsilon$ mas,

${x_n}\leq{z_n}\leq{y_n}$ então

$ a-\epsilon<{x_n}\leq{z_n}\leq{y_n}<a+\epsilon$ , isto é,

$a-\epsilon<{z_n}<a+\epsilon$

Então $\forall \epsilon >0 \exists \ n_2\in\mathbb{N}:\ n>n_2\rightarrow|z_n-a|<\epsilon$ , ou seja,

$ lim\,{z_n}=a $

Como queríamos demonstrar.

Bijeções(Matemática do Infinito)

Bijeção é um conceito muito importante em em álgebra, análise e em várias áreas da matemática, mas o que é uma bijeção ?

Segundo Elon Lages Lima em seu Curso de Análise Vol 1 , uma bijeção $\Phi: \mathbb{I_n}\rightarrow\ \mathbb{X}$ significa uma contagem dos elementos de $\mathbb{X}$ .

Por meio de bijeções pode-se ver que conjuntos diferentes tem o mesmo número de elementos, isto é a mesma cardinalidade.Como $\mathbb{N}$ e $\mathbb{P}$ "conjunto dos naturais pares" podem ter  a mesma cardinalidade ?

Podemos estabelecer uma correspondência $1\rightarrow2$,  $2\rightarrow4$,$ \ldots n\rightarrow2n$

Certamente é uma bijeção que faz corresponder cada número ao seu dobro.
Certamente cada número par tem divisor  e cada número tem o seu valor duplicado no conjunto $\mathbb{P}$ .

Este exemplo mostra que estes dois conjuntos $\mathbb{N}$ e $\mathbb{P}$ que tem infinitos elementos possuem a mesma cardinalidade.
Fato curioso é de que "aparentemente" eles possuem cardinalidades diferentes , o que não é verdade.
O exemplo mostrado acima também ilustra que a matemática do infinito reserva alguns mistérios que muitas vezes pode nos induzir ao erro, como a este aparente paradoxo.

Um pouco de análise.
 Sequências Convergentes: Uma sequência $\{a_n\} $ diz-se convergente se:
 $\forall \epsilon >0\; \exists n_0 \in\mathbb{N}:\ n>n_0 \Rightarrow |a_n-L|<\epsilon $ onde L é o limite da sequência.
 A partir da definição de sequência convergente, já podemos provar o teorema seguinte que afirma :
  Sejam $\{a_n\} e \{b_n\}$ duas sequências convergentes , então $\{a_n\} + \{b_n\}$ é também 
convergente.

Demonstração

Sabemos que $\{a_n\} e \{b_n\}$ são sequências convergentes, então :

$\forall \epsilon >0\; \exists n_1 \in\mathbb{N}:\ n>n_1 \Rightarrow |a_n-L|<\frac{\epsilon}{2}$

e

$\forall \epsilon >0\; \exists n_2 \in\mathbb{N}:\ n>n_2 \Rightarrow |b_n-M|<\frac{\epsilon}{2}$





Então $\forall \epsilon >0\; \exists p=max\{n_0,n_1\};\, n>p $




$ |a_n+b_n-(L+M)|=|a_n-L+b_n-M|\leq |a_n-L|+|b_n-M|<\epsilon$

O que prova que a soma de duas sequências convergentes também é convergente.

Exemplo:

$a_n=1+1/n$

e $b_n= 3+3/n^2$

Sabemos do Cálculo que ${a_n}$ e ${b_n}$ convergem para os limites 1 e 3 , respectivamente.

${a_n}+{b_n}= 1+1/n+3+3/n^2=4+1/n+3/n^2$

vamos chamar ${a_n}+{b_n}$ de ${c_n}$=$4+1/n+3/n^2$

${c_n}$ também converge ,no caso, para o número 4.

Na verdade o exemplo só ilustra o que fora demonstrado, satisfeitas as hipóteses do teorema, pode-se garantir que ele é válido para qualquer sequência convergente.