Desigualdade das médias

Vamos neste post apresentar e demonstrar uma poderosa desigualdade capaz de solucionar inúmeros problemas.
É  a famosa desigualdade das médias.
Vamos apenas mostrar o caso para as médias aritméticas e geométricas de dois números.

Seja a Média Aritmética de dois números $x$ e $ y$ , definida da seguinte forma:

                                              $M.A= \frac{x+y}{2}$

E seja a média geométrica de $x$ e $ y$ definida da seguinte maneira , obviamente com $x$ e $y$ maiores ou iguais a zero.

                                                  $M.G=\sqrt{x.y}$
Vamos mostrar que $M.A\geq M.G$.
Demonstração

Sabemos que $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}\geq0$

Desenvolvendo , ficamos com:
$x-2\sqrt{xy}+y\geq0$

$x+y\geq2\sqrt{xy}$

$\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}$ .

Assim finalizamos a demonstração.