Teoremas de limites sobre funções

Se $\lim_{x \to \infty }\; f(x)=L$ e $\lim_{x \to \infty }\;g(x)=+\infty$  com $L>0$.

Assim $\lim_{x \to \infty }f(x).g(x)=+\infty$


Demonstração


Sabemos que se $x>A_1 \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon$ com $A_1>0$ e  $\epsilon>0$.
Assim  escolhendo $\epsilon$ igual a $\frac{L}{2}$, conseguimos obter $|f(x)-L|<\frac{L}{2}$

Dessa forma $-\frac{L}{2} <f(x)-L<\frac{L}{2}\Rightarrow-\frac{L}{2}+L<f(x)<\frac{L}{2}+L$

Então  $\frac{L}{2}<f(x)<\frac{3L}{2}$


Assim $f(x)>\frac{L}{2}$


$f(x)>\frac{L}{2}$ quando  $x>A_1$

Além disso

 $x>A_2\Rightarrow\;g(x)>\epsilon\frac{2}{L}$ com  com $A_2>0$

Tomando $A=max\{A_1,A_2\}$

Assim para $x>A\Rightarrow \;f(x).g(x)>\frac{L}{2}.\epsilon\frac{2}{L}=\epsilon$

Em outras palavras

$f(x).g(x)>\epsilon$ quando $x>A$ .

O que finaliza o teorema.

Limite do produto de sequências

Se $lim\; x_n=L$ e $lim\;y_n=M$

Então $lim\;x_n.\;y_n=LM$

Demonstração:

Fazemos uma manipulação de forma a obter uma desigualdade desejável



$|x_n\;y_n -LM|=|x_n\;y_n-L\;y_n+L\;y_n-LM|\leqslant$

$\leqslant\;|x_n\;y_n-L\;y_n|+|L\;y_n-L\;M|=|y_n||x_n-L|+|L||y_n-M|$

Um teorema aqui é importante : Toda sequência convergente é limitada .

Então $x_n\; e\; y_n$ são sequências limitadas , já que convergem, usando o teorema que foi enunciando sem demonstração.

Como $x_n$ converge para $L$ , então;

$\forall \epsilon >0 \exists \ n_0\in\mathbb{N}:\ n>n_0\rightarrow|x_n-L|<\frac{\epsilon}{2c}$

                                                       e

Como $y_n$ converge para M , então:

$\forall \epsilon >0 \exists \ n_1\in\mathbb{N}:\ n>n_1\rightarrow|y_n-M|<\frac{\epsilon}{2|L|}$

Se $y_n$é limitada  então existe um  $c\;>0$ tal que $|y_n|\leqslant\;c$.

Assim seja $n_0=max\{n_1,n_2\}$.

Então:

$\forall \epsilon >0 \exists \ n_0\in\mathbb{N}:\ n>n_0\rightarrow|x_n\;y_n -LM|\leqslant$

$\leqslant|y_n||x_n-L|+|L||y_n-M|<c.\frac{\epsilon}{2c} +|L|.\frac{\epsilon}{2|L|} =\epsilon$

De forma resumida

$\forall \epsilon >0 \exists \ n_0\in\mathbb{N}:\ n>n_0\rightarrow|x_n\;y_n -LM|<\epsilon$

Isto prova que $lim\;x_n.\;y_n=LM$

Referências

Texto de Rodrigo Carlos Silva de Lima
Texto de Rodrigo Carlos Silva de Lima

Análise Real -Volume 1 ( Funções de Uma Variável) Elon Lages Lima