Teoria de Grafos

Mostre que , para qualquer grafo $G$ tem-se $\delta(G)\leq d(G)\leq \Delta(G)$.

Seja $G$ um grafo no qual   $v_1,v_2\cdots,v_n$
são seus vértices e $d_1,d_2,\cdots,d_n$ são seus respectivos graus.

Sabemos que o grau médio de um  grafo é dado por :
$$d(G)=\frac{\sum_{v\in G} d(v)}{n}$$
Como $$d(G)=\frac{d_1+d_2+\cdots+d_n}{n}$$



Como  $\delta(G)\leq d_i$ para $1\leq 1\leq n$

e $\Delta(G)\geq d_i$ para $1\leq 1\leq n$.

Assim
$$\frac{ n \delta(G)}{n}\leq d(G)=\frac{d_1+d_2+\cdots+d_n}{n}\leq \frac{n \Delta(G)}{n}.$$

$$\delta(G)\leq d(G)=\frac{d_1+d_2+\cdots+d_n}{n}\leq  \Delta(G).$$

$$\delta(G)\leq d(G)\leq \Delta(G).\blacksquare$$


                                                                   

Família de soluções

Considere a equação diferencial
$$\frac{dy}{dx}=y$$

Sua solução é dada por :

$$y(x)=Ae^x$$

O gráfico abaixo representa a família de soluções da EQ .1

Equações Diferenciais separáveis

Uma equação diferencial é dita separável ou de  variáveis separáveis  se pode ser escrita na forma :
$$\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{f(y)}$$

Método  de Resolução

Seja a equação diferencial de primeira ordem $y'=\frac{dy}{dx}=f(x)$.Podemos obter a solução geral desa equação por separação de variáveis.

$y'=\frac{dy}{dx}=f(x)\Rightarrow dy=f(x) dx$

Integrando, temos:

$\int dy=\int f(x) dx$

$y=\int f(x) dx +C$

onde $C$ é a  constante de integração.