Vamos neste post apresentar e demonstrar uma poderosa desigualdade capaz de solucionar inúmeros problemas.
É a famosa desigualdade das médias.
Vamos apenas mostrar o caso para as médias aritméticas e geométricas de dois números.
Seja a Média Aritmética de dois números x e y , definida da seguinte forma:
M.A= \frac{x+y}{2}
E seja a média geométrica de x e y definida da seguinte maneira , obviamente com x e y maiores ou iguais a zero.
M.G=\sqrt{x.y}
Vamos mostrar que M.A\geq M.G.
Demonstração
Sabemos que (\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}\geq0
Desenvolvendo , ficamos com:
x-2\sqrt{xy}+y\geq0
x+y\geq2\sqrt{xy}
\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy} .
Assim finalizamos a demonstração.
