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segunda-feira, 23 de março de 2020

Geometria Diferencial(Evoluta de uma curva)

Seja \alpha(s) uma curva parametrizada pelo comprimento de arco.A evoluta de \alpha é acurva definida por \beta(s)=\alpha(s)+\frac{1}{k(s)}n(s) ,onde n(s) é o vetor normal e k(s) é a curvatura de \alpha.

Se k(s)>0, \forall s ,verifique que o comprimento de arco da evoluta de \alpha entre s_0 e s_1 é igual à diferença entre os raios de curvatura entre s_0 e s_1.


Vamos tomar a derivada \beta'(s)=\alpha'(s)-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)+\frac{1}{k(s)}n'(s)


Como n'(s)=-k(s).t(s) ficamos com:

\beta'(s)=\alpha'(s)-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)+\frac{1}{k(s)}(-k(s).t(s))

Dessa forma

\beta'(s)=\alpha'(s)-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)-t(s)

Mas \alpha'(s)=t(s), logo:

\beta'(s)=-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)


Queremos agora calcular o comprimento de arco de \beta(s)=\alpha(s)+\frac{1}{k(s)}n(s) entre s_0 e s_1.


Agora vamos avaliar a integral
\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds

\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds=\int_{s_0}^{s_1}|-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)|ds=\int_{s_0}^{s_1}|\frac{k'(s)}{k(s)^2}||n(s)|ds

O vetor n(s) é unitário.

Assim,
\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds=\int_{s_0}^{s_1}|\frac{k'(s)}{k(s)^2}| ds

Fazendo a mudança de variável u=k(s) , então du=k'(s)ds e  os limites de integração variam de k(s_0) a k(s_1)

\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds=\int_{k(s_0)}^{k(s_1)}|\frac{1}{u^2}| du

Como    \frac{1}{u^2}>0 para u\neq 0 , então:

\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds=\int_{k(s_0)}^{k(s_1)}\frac{1}{u^2} du



Assim ficamos com \frac{-1}{u} de k(s_0) a k(s_1) , que nos fornece:


\frac{-1}{k(s_1)}-(-\frac{1}{k(s_0)})


\frac{1}{k(s_0)}-\frac{1}{k(s_1)}



Onde \frac{1}{k(s)} é o raio de curvatura .





domingo, 8 de março de 2020

Números complexos

Considerando o desenvolvimento (1+i)^n calcule o valor da soma  S=\binom{n}{0}-\binom{n}{2}+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}+\cdots :
Observação : i^2=-1


Obtendo a expansão do binômio de Newton de (1+i)^n , obtemos:
(1+i)^n
=
\binom{n}{0}i^0+\binom{n}{1}i^1+\binom{n}{2}i^2+\binom{n}{3}i^3+\binom{n}{4}i^4+\binom{n}{5}i^5+\binom{n}{6}i^6+\cdots


Temos
i^0=1
i^1=i
i^2=-1
i^3=-i
i^4=1
i^5=i

Assim , substituindo na expansão, ficamos com:

\binom{n}{0}i+\binom{n}{1}i^1+\binom{n}{2}i^2+\binom{n}{3}i^3+\binom{n}{4}i^4+\binom{n}{5}i^5+\binom{n}{6}i^6+\cdots


Assim , temos:
\binom{n}{0}+\binom{n}{1}i -\binom{n}{2}-\binom{n}{3}i+\binom{n}{4}+\binom{n}{5}i-\binom{n}{6}+\cdots


Reorganizando:

\binom{n}{0}-\binom{n}{2} +i[\binom{n}{1}-\binom{n}{3}]+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}-i[\binom{n}{5}-\binom{n}{7}]+\cdots


Colocando o número complexo  (1+1)^n na forma trigonométrica , temos:
(1+i)^n=(\sqrt 2)^n (cos \frac{n\pi}{4}+i sen \frac{n\pi}{4})


Concluímos que S=\binom{n}{0}-\binom{n}{2}+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}+\cdots  é a parte real do número complexo (1+1)^n.
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S=\binom{n}{0}-\binom{n}{2}+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}+\cdots=(\sqrt 2)^n cos \frac{n\pi}{4}