Seja o espaço vetorial de funções de variável real e um conjunto linearmente independente que gera um subespaço $V$ de dimensão finita.
Vamos considerar a base (sen x , cos x) .
Seja o operador diferenciação $D:V\longrightarrow V$. Vamos calcular a matriz relativa a esse operador.
Um elemento de $V$ é obtido como uma combinação linear da forma $a.senx +b.cos x$.
Vamos derivar:
$D(senx)=cos x$, reorganizando como combinação linear , ficamos com $0.senx+1.cos x$
Similarmente ,
$D(cos x)=-sen x$ , reorganizando como combinação linear ,ficamos $-1.senx+0.cos x$.
Agora que vem a cereja do bolo , o momento mais esperado.
Reparem
$0.sen x+1.cos x$
$-1.sen x+0.cos x$.
nos coeficientes, em $ senx $ e $cos x$.
Os coeficientes de $0.sen x+1.cos x$ determinam a 1ª coluna e os coeficientes de $-1.sen x+0.cos x$ determinam a 2 ª coluna na representação matricial de $D$.Portanto a matriz que representa a transformação $D:V\longrightarrow V$ é:
$$\begin{bmatrix}
0 &-1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}$$
