Geometria Diferencial(Evoluta de uma curva)

Seja $\alpha(s)$ uma curva parametrizada pelo comprimento de arco.A evoluta de $\alpha$ é acurva definida por $\beta(s)=\alpha(s)+\frac{1}{k(s)}n(s)$ ,onde $n(s)$ é o vetor normal e $k(s)$ é a curvatura de $\alpha$.

Se $k(s)>0, \forall s$ ,verifique que o comprimento de arco da evoluta de $\alpha$ entre $s_0$ e $s_1$ é igual à diferença entre os raios de curvatura entre $s_0$ e $s_1$.


Vamos tomar a derivada $\beta'(s)=\alpha'(s)-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)+\frac{1}{k(s)}n'(s)$


Como $n'(s)=-k(s).t(s)$ ficamos com:

$\beta'(s)=\alpha'(s)-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)+\frac{1}{k(s)}(-k(s).t(s))$

Dessa forma

$\beta'(s)=\alpha'(s)-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)-t(s)$

Mas $\alpha'(s)=t(s)$, logo:

$\beta'(s)=-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)$


Queremos agora calcular o comprimento de arco de $\beta(s)=\alpha(s)+\frac{1}{k(s)}n(s)$ entre $s_0$ e $s_1$.


Agora vamos avaliar a integral
$\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds$

$\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds=\int_{s_0}^{s_1}|-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)|ds=\int_{s_0}^{s_1}|\frac{k'(s)}{k(s)^2}||n(s)|ds$

O vetor $n(s)$ é unitário.

Assim,
$\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds=\int_{s_0}^{s_1}|\frac{k'(s)}{k(s)^2}| ds$

Fazendo a mudança de variável $u=k(s)$ , então $du=k'(s)ds$ e  os limites de integração variam de $k(s_0)$ a $k(s_1)$

$\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds=\int_{k(s_0)}^{k(s_1)}|\frac{1}{u^2}| du$

Como    $\frac{1}{u^2}>0$ para $u\neq 0$ , então:

$\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds=\int_{k(s_0)}^{k(s_1)}\frac{1}{u^2} du$



Assim ficamos com $\frac{-1}{u}$ de $k(s_0)$ a $k(s_1)$ , que nos fornece:


$\frac{-1}{k(s_1)}-(-\frac{1}{k(s_0)})$


$$\frac{1}{k(s_0)}-\frac{1}{k(s_1)}$$


Onde $\frac{1}{k(s)}$ é o raio de curvatura .

Números complexos

Considerando o desenvolvimento $(1+i)^n$ calcule o valor da soma  $S=\binom{n}{0}-\binom{n}{2}+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}+\cdots$ :
Observação : $i^2=-1$


Obtendo a expansão do binômio de Newton de $(1+i)^n$ , obtemos:
$$(1+i)^n$$ =
$$\binom{n}{0}i^0+\binom{n}{1}i^1+\binom{n}{2}i^2+\binom{n}{3}i^3+\binom{n}{4}i^4+\binom{n}{5}i^5+\binom{n}{6}i^6+\cdots$$

Temos
$i^0=1$
$i^1=i$
$i^2=-1$
$i^3=-i$
$i^4=1$
$i^5=i$

Assim , substituindo na expansão, ficamos com:

$$\binom{n}{0}i+\binom{n}{1}i^1+\binom{n}{2}i^2+\binom{n}{3}i^3+\binom{n}{4}i^4+\binom{n}{5}i^5+\binom{n}{6}i^6+\cdots$$

Assim , temos:
$$\binom{n}{0}+\binom{n}{1}i -\binom{n}{2}-\binom{n}{3}i+\binom{n}{4}+\binom{n}{5}i-\binom{n}{6}+\cdots$$

Reorganizando:

$$\binom{n}{0}-\binom{n}{2} +i[\binom{n}{1}-\binom{n}{3}]+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}-i[\binom{n}{5}-\binom{n}{7}]+\cdots$$

Colocando o número complexo  $(1+1)^n$ na forma trigonométrica , temos:
$$(1+i)^n=(\sqrt 2)^n (cos \frac{n\pi}{4}+i sen \frac{n\pi}{4})$$

Concluímos que $S=\binom{n}{0}-\binom{n}{2}+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}+\cdots$  é a parte real do número complexo $(1+1)^n$.
Logo
$$S=\binom{n}{0}-\binom{n}{2}+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}+\cdots=(\sqrt 2)^n cos \frac{n\pi}{4}$$

Representação matricial de Transformações Lineares

Seja o espaço vetorial de funções de variável real e um conjunto linearmente independente que gera um subespaço $V$ de dimensão finita.

Vamos considerar a base (sen x , cos x) .

Seja o operador diferenciação $D:V\longrightarrow V$. Vamos calcular a matriz relativa a esse operador.
Um elemento de $V$ é obtido como uma combinação linear da forma $a.senx +b.cos x$.

Vamos derivar:

$D(senx)=cos x$, reorganizando como combinação linear , ficamos com $0.senx+1.cos x$

Similarmente ,

$D(cos x)=-sen x$ , reorganizando como combinação linear ,ficamos $-1.senx+0.cos x$.

Agora que vem a cereja do bolo , o momento mais esperado.
 Reparem
$0.sen x+1.cos x$
$-1.sen x+0.cos x$.
nos coeficientes, em $senx$ e $cos x$.

Os coeficientes de  $0.sen x+1.cos x$ determinam a 1ª coluna e os coeficientes de $-1.sen x+0.cos x$ determinam a 2 ª coluna na representação matricial de $D$.Portanto a matriz que representa a transformação $D:V\longrightarrow V$ é:
$$\begin{bmatrix} 0 &-1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

Princípio da Casa dos Pombos

O Princípio da Casa dos Pombos ou Princípio das Gavetas de Dirichlet  nos diz que para colocarmos $n+1$ pombos em $n$ gaiolas , pelo menos uma gaiola deverá conter pelo menos dois pombos.


Este princípio , embora bastante intuitivo e de fácil compreensão , pode ser uma ferramenta poderosa na solução de problemas difíceis da matemática.

Vamos ilustrar uma aplicação do Princípio da Casa dos Pombos  na teoria dos números.

Exemplo 

Mostrar que todo subconjunto de $\{1,2,\cdots , 2n\}$ contendo $n+1$ elementos , possui um par de elementos primos entre si.
Basta notar que os únicos subconjuntos de  $\{1,2,\cdots , 2n\}$ contendo $n$ elementos , não-consecutivos , são   $\{1,3,\cdots , 2n-1\}$ e   $\{2,4,\cdots , 2n\}$. Logo , se tomarmos um subconjunto com $n+1$ elementos, de fato , teremos dois elementos consecutivos e como o máximo divisor comum de dois números consecutivos é $1$ , concluímos que estes números são primos entre si.

Referências
Introdução à Teoria dos Números
José Plínio de Oliveira Santos

Formas quadráticas

Consideremos uma partícula de massa $m$ deslocando-se no espaço com velocidade $v=(v_x,v_y,v_z)$A energia cinética que esse corpo possui é dada pela expressão :

$$E_c=\frac{m||v||^2}{2}=\frac{m}{2}(\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2)}^2$$

$$E_c=\frac{m}{2}.{v_x}^2+\frac{m}{2}.{v_y}^2+\frac{m}{2}.{v_z}^2$$ =

=$\begin{bmatrix} v_x & v_y & v_z \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  \frac{m}{2}& 0 &0 \\ 0 &\frac{m}{2}  & 0\\ 0 &0  &\frac{m}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_x\\ v_y \\ v_z \end{bmatrix}$


Dessa forma, a energia cinética pode ser interpretada como uma função ( que não é linear) da velocidade .

Temos:
$$\mathbb{R} ^3\rightarrow\mathbb{R}$$
$$(v_x,v_y,v_z)\longrightarrow\frac{m}{2}.{v_x}^2+\frac{m}{2}.{v_y}^2+\frac{m}{2}.{v_z}^2$$

Se considerarmos , agora, a aplicação bilinear simétrica
$$B:\mathbb{R} ^3\times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$$
cuja expressão é:
$B((v_x,v_y,v_z)(w_x,w_y,w_z)=\begin{bmatrix} v_x & v_y & v_z \end{bmatrix}\begin{bmatrix}  \frac{m}{2}& 0 &0 \\ 0 &\frac{m}{2}  & 0\\ 0 &0  &\frac{m}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} w_x\\ w_y \\ w_z \end{bmatrix}$

observamos que
$$E_c(v_x,v_y,v_z)=B((v_x,v_y,v_z)(v_x,v_y,v_z)$$

Expressões que se comportam como a da energia cinética , isto, é que provêm de formas bilineares simétricas , recebem o nome de formas quadráticas .


Texto retirado de Álgebra Linear de Boldrini/Costa & Figueiredo/Wetzler

Contração de arestas ( Teoria de grafos)

No exemplo ilustrado acima, temos a contração da aresta $e$ , obtendo assim o grafo à direita na mesma imagem.  A contração de arestas é muito útil , pois podemos calcular o polinômio cromático associado a um grafo.

Teoria de Grafos

Mostre que , para qualquer grafo $G$ tem-se $\delta(G)\leq d(G)\leq \Delta(G)$.

Seja $G$ um grafo no qual   $v_1,v_2\cdots,v_n$
são seus vértices e $d_1,d_2,\cdots,d_n$ são seus respectivos graus.

Sabemos que o grau médio de um  grafo é dado por :
$$d(G)=\frac{\sum_{v\in G} d(v)}{n}$$
Como $$d(G)=\frac{d_1+d_2+\cdots+d_n}{n}$$



Como  $\delta(G)\leq d_i$ para $1\leq 1\leq n$

e $\Delta(G)\geq d_i$ para $1\leq 1\leq n$.

Assim
$$\frac{ n \delta(G)}{n}\leq d(G)=\frac{d_1+d_2+\cdots+d_n}{n}\leq \frac{n \Delta(G)}{n}.$$

$$\delta(G)\leq d(G)=\frac{d_1+d_2+\cdots+d_n}{n}\leq  \Delta(G).$$

$$\delta(G)\leq d(G)\leq \Delta(G).\blacksquare$$