Desigualdade das médias

Vamos neste post apresentar e demonstrar uma poderosa desigualdade capaz de solucionar inúmeros problemas.
É  a famosa desigualdade das médias.
Vamos apenas mostrar o caso para as médias aritméticas e geométricas de dois números.

Seja a Média Aritmética de dois números $x$ e $ y$ , definida da seguinte forma:

                                              $M.A= \frac{x+y}{2}$

E seja a média geométrica de $x$ e $ y$ definida da seguinte maneira , obviamente com $x$ e $y$ maiores ou iguais a zero.

                                                  $M.G=\sqrt{x.y}$
Vamos mostrar que $M.A\geq M.G$.
Demonstração

Sabemos que $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}\geq0$

Desenvolvendo , ficamos com:
$x-2\sqrt{xy}+y\geq0$

$x+y\geq2\sqrt{xy}$

$\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}$ .

Assim finalizamos a demonstração.

Limites e desigualdades

Sejam $lim\;x_n=a$ e $lim\;y_n=b$ .Se $a<b$, prove que existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que 
$n>n_0\Rightarrow x_n<y_n$

Suponha que para todo $x_n\geq y_n$, então $lim\;x_n\geq lim\;y_n$,isto é, $a\geq b$ .

Aí está o absurdo, porque é dado no problema que $a<b$ .

Então , existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que $n>n_0\Rightarrow x_n<y_n$ .

Indução Finita

Prove que


$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=[\frac{n(n+1)}{2}]^2 , \forall n\in\mathbb{N^*}$ .

Base da indução    $(n=1)$

 $1^3=[\frac{1(1+1)}{2}]^2=1$ , Verdadeiro.

Hipótese de indução   $(n=k)$

 $1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3=[\frac{k(k+1)}{2}]^2$

Tese de indução $(n=k+1)$

Vamos provar para $(n=k+1)$ .


$1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3+(k+1)^3=[\frac{k(k+1)}{2}]^2+(k+1)^3$

Vamos somar $[\frac{k(k+1)}{2}]^2+(k+1)^3$

$\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}=$
$\frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}=[\frac{(k+1)(k+2)}{2}]^2$

Assim provamos que a fórmula é válida para $(n=k+1)$ .

Isto é:

$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=[\frac{n(n+1)}{2}]^2 , \forall n\in\mathbb{N^*}$ .

Continuidade Uniforme

Prove que $f:(a,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ com $a>0$ definida por $f(x)=\sqrt{x}$ é uniformemente contínua.

Sabemos que $x , y >a$ .



$|\sqrt{x}-\sqrt{y}|=\frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}<\frac{|x-y|}{\sqrt{a}+\sqrt{a}}<\epsilon$

Como $x >a$ , então $\sqrt{x}>\sqrt{a}$ e  $y>a$ ,  então $\sqrt{y}>\sqrt{a}$.

Assim $\sqrt{x}+\sqrt{y}>\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}$


Então

$\frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}<\frac{|x-y|}{2\sqrt{a}}<\epsilon$.

Assim $|x-y|<{2\sqrt{a}}\epsilon$ .

Dessa forma escolhendo $\delta={2\sqrt{a}}\epsilon$  a continuidade uniforme de $f(x)$ é garantida.

Limites de funções

Seja $f(x)=x+5.\sin x$ para todo $x\in\mathbb{R}$.Então $ \lim_{x\to+\infty } f(x)=+\infty $.


Então para $ \lim_{x\to+\infty } f(x)=+\infty $ , então para $x>M$ $\Rightarrow$ $f(x)>A$ com $A,M>0$

Assim $f(x)=x+5.\sin x\geq x-5>A\Rightarrow x>A+5$ , assim escolhendo $M=A+5$ , mostramos que

 $ \lim_{x\to+\infty }x+5.\sin x=+\infty $.

Continuidade uniforme

Mostre que $f:[-a,a] \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x)=x^2$ é uniformemente contínua em $[-a,a]$  .

Primeiramente $|x^2-y^2|=|x-y||x+y|$


Como $x,y\leq a$ , então $ x+y\leq 2a<3a$, assim

$|x^2-y^2|=|x-y||x+y|<3a|x-y|<\epsilon \Rightarrow |x-y|<\frac{\epsilon}{3a}$

Escolhendo $\delta=\frac{\epsilon}{3a}$ acaba a demosntração.

Teoria dos Números (Exercício)

Encontrar todos os inteiros positivos $n$ para os quais $(n+1)\mid(n^2+1)$.

Para encontras esses inteiros  vamos utilizar  propriedades dos números inteiros.

$(n+1)\mid(n^2+1 -n(n+1))$ , então $(n+1)\mid(1-n)$, então  $(n+1)\mid(n-1)$ , procedendo da

mesma forma $(n+1)\mid(n-1-(n+1))$, assim $(n+1)\mid(-2)$, então $(n+1)\mid 2$, assim

$n+1=1$ ou $n+1=-1$ ou $n+1=2$ ou $n+1=-2$ , dessa forma $n=0$ ou $n=-2$ ou $n=1$ ou $n=-3$.

Agora vamos testar os valores.

Para $n=0$ , então $1\mid1$ .

Para $n=-2$ , então $-1\mid5$.

Para $n=1$, então $2\mid2$ .

Para $n=-3$, então $-2\mid10$ .

Logo estes quatro valores são os valores para os quais $(n+1)\mid(n^2+1)$ .