Geometria Diferencial(Evoluta de uma curva)

Seja $\alpha(s)$ uma curva parametrizada pelo comprimento de arco.A evoluta de $\alpha$ é acurva definida por $\beta(s)=\alpha(s)+\frac{1}{k(s)}n(s)$ ,onde $n(s)$ é o vetor normal e $k(s)$ é a curvatura de $\alpha$.

Se $k(s)>0, \forall s $ ,verifique que o comprimento de arco da evoluta de $\alpha$ entre $s_0$ e $s_1$ é igual à diferença entre os raios de curvatura entre $s_0$ e $s_1$.


Vamos tomar a derivada $\beta'(s)=\alpha'(s)-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)+\frac{1}{k(s)}n'(s)$


Como $n'(s)=-k(s).t(s)$ ficamos com:

$\beta'(s)=\alpha'(s)-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)+\frac{1}{k(s)}(-k(s).t(s))$

Dessa forma

$\beta'(s)=\alpha'(s)-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)-t(s)$

Mas $\alpha'(s)=t(s)$, logo:

$\beta'(s)=-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)$


Queremos agora calcular o comprimento de arco de $\beta(s)=\alpha(s)+\frac{1}{k(s)}n(s)$ entre $s_0$ e $s_1$.


Agora vamos avaliar a integral
$\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds$

$\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds=\int_{s_0}^{s_1}|-\frac{k'(s)}{k(s)^2}n(s)|ds=\int_{s_0}^{s_1}|\frac{k'(s)}{k(s)^2}||n(s)|ds$

O vetor $n(s)$ é unitário.

Assim,
$\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds=\int_{s_0}^{s_1}|\frac{k'(s)}{k(s)^2}| ds $

Fazendo a mudança de variável $u=k(s)$ , então $du=k'(s)ds$ e  os limites de integração variam de $k(s_0)$ a $k(s_1)$

$\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds=\int_{k(s_0)}^{k(s_1)}|\frac{1}{u^2}| du $

Como    $\frac{1}{u^2}>0$ para $u\neq 0$ , então:

$\int_{s_0}^{s_1} |\beta'(s)| ds=\int_{k(s_0)}^{k(s_1)}\frac{1}{u^2} du$



Assim ficamos com $\frac{-1}{u}$ de $k(s_0)$ a $k(s_1)$ , que nos fornece:


$\frac{-1}{k(s_1)}-(-\frac{1}{k(s_0)})$


$$\frac{1}{k(s_0)}-\frac{1}{k(s_1)}$$


Onde $\frac{1}{k(s)}$ é o raio de curvatura .

Números complexos

Considerando o desenvolvimento $(1+i)^n$ calcule o valor da soma  $S=\binom{n}{0}-\binom{n}{2}+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}+\cdots$ :
Observação : $i^2=-1$


Obtendo a expansão do binômio de Newton de $(1+i)^n$ , obtemos:
$$(1+i)^n$$=
$$\binom{n}{0}i^0+\binom{n}{1}i^1+\binom{n}{2}i^2+\binom{n}{3}i^3+\binom{n}{4}i^4+\binom{n}{5}i^5+\binom{n}{6}i^6+\cdots$$

Temos
$i^0=1$
$i^1=i$
$i^2=-1$
$i^3=-i$
$i^4=1$
$i^5=i$

Assim , substituindo na expansão, ficamos com:

$$\binom{n}{0}i+\binom{n}{1}i^1+\binom{n}{2}i^2+\binom{n}{3}i^3+\binom{n}{4}i^4+\binom{n}{5}i^5+\binom{n}{6}i^6+\cdots$$

Assim , temos:
$$\binom{n}{0}+\binom{n}{1}i -\binom{n}{2}-\binom{n}{3}i+\binom{n}{4}+\binom{n}{5}i-\binom{n}{6}+\cdots$$

Reorganizando:

$$\binom{n}{0}-\binom{n}{2} +i[\binom{n}{1}-\binom{n}{3}]+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}-i[\binom{n}{5}-\binom{n}{7}]+\cdots$$

Colocando o número complexo  $(1+1)^n$ na forma trigonométrica , temos:
$$(1+i)^n=(\sqrt 2)^n (cos \frac{n\pi}{4}+i sen \frac{n\pi}{4})$$

Concluímos que $S=\binom{n}{0}-\binom{n}{2}+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}+\cdots$  é a parte real do número complexo $(1+1)^n$.
Logo
$$S=\binom{n}{0}-\binom{n}{2}+\binom{n}{4}-\binom{n}{6}+\cdots=(\sqrt 2)^n cos \frac{n\pi}{4}$$

Representação matricial de Transformações Lineares

Seja o espaço vetorial de funções de variável real e um conjunto linearmente independente que gera um subespaço $V$ de dimensão finita.

Vamos considerar a base (sen x , cos x) .

Seja o operador diferenciação $D:V\longrightarrow V$. Vamos calcular a matriz relativa a esse operador.
Um elemento de $V$ é obtido como uma combinação linear da forma $a.senx +b.cos x$.

Vamos derivar:

$D(senx)=cos x$, reorganizando como combinação linear , ficamos com $0.senx+1.cos x$

Similarmente ,

$D(cos x)=-sen x$ , reorganizando como combinação linear ,ficamos $-1.senx+0.cos x$.

Agora que vem a cereja do bolo , o momento mais esperado.
 Reparem
$0.sen x+1.cos x$
$-1.sen x+0.cos x$.
nos coeficientes, em $ senx $ e $cos x$.

Os coeficientes de  $0.sen x+1.cos x$ determinam a 1ª coluna e os coeficientes de $-1.sen x+0.cos x$ determinam a 2 ª coluna na representação matricial de $D$.Portanto a matriz que representa a transformação $D:V\longrightarrow V$ é:
$$\begin{bmatrix}
0 &-1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}$$

Princípio da Casa dos Pombos

O Princípio da Casa dos Pombos ou Princípio das Gavetas de Dirichlet  nos diz que para colocarmos $n+1$ pombos em $n$ gaiolas , pelo menos uma gaiola deverá conter pelo menos dois pombos.


Este princípio , embora bastante intuitivo e de fácil compreensão , pode ser uma ferramenta poderosa na solução de problemas difíceis da matemática.

Vamos ilustrar uma aplicação do Princípio da Casa dos Pombos  na teoria dos números.

Exemplo 

Mostrar que todo subconjunto de $\{1,2,\cdots , 2n\}$ contendo $n+1$ elementos , possui um par de elementos primos entre si.
Basta notar que os únicos subconjuntos de  $\{1,2,\cdots , 2n\}$ contendo $n$ elementos , não-consecutivos , são   $\{1,3,\cdots , 2n-1\}$ e   $\{2,4,\cdots , 2n\}$. Logo , se tomarmos um subconjunto com $n+1$ elementos, de fato , teremos dois elementos consecutivos e como o máximo divisor comum de dois números consecutivos é $1$ , concluímos que estes números são primos entre si.

Referências
Introdução à Teoria dos Números
José Plínio de Oliveira Santos

Formas quadráticas

Consideremos uma partícula de massa $m$ deslocando-se no espaço com velocidade $v=(v_x,v_y,v_z)$A energia cinética que esse corpo possui é dada pela expressão :

$$E_c=\frac{m||v||^2}{2}=\frac{m}{2}(\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2+{v_z}^2)}^2$$

$$E_c=\frac{m}{2}.{v_x}^2+\frac{m}{2}.{v_y}^2+\frac{m}{2}.{v_z}^2$$=

=$\begin{bmatrix}
v_x & v_y & v_z
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 \frac{m}{2}& 0 &0 \\
0 &\frac{m}{2}  & 0\\
0 &0  &\frac{m}{2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
v_x\\ v_y
\\ v_z

\end{bmatrix}$


Dessa forma, a energia cinética pode ser interpretada como uma função ( que não é linear) da velocidade .

Temos:
$$\mathbb{R} ^3\rightarrow\mathbb{R} $$
$$(v_x,v_y,v_z)\longrightarrow\frac{m}{2}.{v_x}^2+\frac{m}{2}.{v_y}^2+\frac{m}{2}.{v_z}^2$$

Se considerarmos , agora, a aplicação bilinear simétrica
$$B:\mathbb{R} ^3\times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$$
cuja expressão é:
$B((v_x,v_y,v_z)(w_x,w_y,w_z)=\begin{bmatrix}
v_x & v_y & v_z
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
 \frac{m}{2}& 0 &0 \\
0 &\frac{m}{2}  & 0\\
0 &0  &\frac{m}{2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
w_x\\ w_y
\\ w_z


\end{bmatrix}$

observamos que
$$E_c(v_x,v_y,v_z)=B((v_x,v_y,v_z)(v_x,v_y,v_z)$$

Expressões que se comportam como a da energia cinética , isto, é que provêm de formas bilineares simétricas , recebem o nome de formas quadráticas .


Texto retirado de Álgebra Linear de Boldrini/Costa & Figueiredo/Wetzler

Contração de arestas ( Teoria de grafos)

No exemplo ilustrado acima, temos a contração da aresta $e$ , obtendo assim o grafo à direita na mesma imagem.  A contração de arestas é muito útil , pois podemos calcular o polinômio cromático associado a um grafo.

Teoria de Grafos

Mostre que , para qualquer grafo $G$ tem-se $\delta(G)\leq d(G)\leq \Delta(G)$.

Seja $G$ um grafo no qual   $v_1,v_2\cdots,v_n$
são seus vértices e $d_1,d_2,\cdots,d_n$ são seus respectivos graus.

Sabemos que o grau médio de um  grafo é dado por :
$$d(G)=\frac{\sum_{v\in G} d(v)}{n}$$
Como $$d(G)=\frac{d_1+d_2+\cdots+d_n}{n}$$



Como  $\delta(G)\leq d_i $ para $1\leq 1\leq n$

e $\Delta(G)\geq d_i$ para $1\leq 1\leq n$.

Assim
$$\frac{ n \delta(G)}{n}\leq d(G)=\frac{d_1+d_2+\cdots+d_n}{n}\leq \frac{n \Delta(G)}{n}.$$

$$ \delta(G)\leq d(G)=\frac{d_1+d_2+\cdots+d_n}{n}\leq  \Delta(G).$$

$$ \delta(G)\leq d(G)\leq \Delta(G).\blacksquare$$


                                                                   

Família de soluções

Considere a equação diferencial
$$ \frac{dy}{dx}=y$$

Sua solução é dada por :

$$y(x)=Ae^x$$

O gráfico abaixo representa a família de soluções da EQ .1

Equações Diferenciais separáveis

Uma equação diferencial é dita separável ou de  variáveis separáveis  se pode ser escrita na forma :
$$\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{f(y)}$$

Método  de Resolução

Seja a equação diferencial de primeira ordem $y'=\frac{dy}{dx}=f(x)$.Podemos obter a solução geral desa equação por separação de variáveis.

$y'=\frac{dy}{dx}=f(x)\Rightarrow dy=f(x) dx$

Integrando, temos:

$\int dy=\int f(x) dx $

$y=\int f(x) dx +C $

onde $C$ é a  constante de integração.

Desigualdade das médias

Vamos neste post apresentar e demonstrar uma poderosa desigualdade capaz de solucionar inúmeros problemas.
É  a famosa desigualdade das médias.
Vamos apenas mostrar o caso para as médias aritméticas e geométricas de dois números.

Seja a Média Aritmética de dois números $x$ e $ y$ , definida da seguinte forma:

                                              $M.A= \frac{x+y}{2}$

E seja a média geométrica de $x$ e $ y$ definida da seguinte maneira , obviamente com $x$ e $y$ maiores ou iguais a zero.

                                                  $M.G=\sqrt{x.y}$
Vamos mostrar que $M.A\geq M.G$.
Demonstração

Sabemos que $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2}\geq0$

Desenvolvendo , ficamos com:
$x-2\sqrt{xy}+y\geq0$

$x+y\geq2\sqrt{xy}$

$\frac{x+y}{2}\geq\sqrt{xy}$ .

Assim finalizamos a demonstração.

Limites e desigualdades

Sejam $lim\;x_n=a$ e $lim\;y_n=b$ .Se $a<b$, prove que existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que 
$n>n_0\Rightarrow x_n<y_n$

Suponha que para todo $x_n\geq y_n$, então $lim\;x_n\geq lim\;y_n$,isto é, $a\geq b$ .

Aí está o absurdo, porque é dado no problema que $a<b$ .

Então , existe $n_0\in \mathbb{N}$ tal que $n>n_0\Rightarrow x_n<y_n$ .

Indução Finita

Prove que


$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=[\frac{n(n+1)}{2}]^2 , \forall n\in\mathbb{N^*}$ .

Base da indução    $(n=1)$

 $1^3=[\frac{1(1+1)}{2}]^2=1$ , Verdadeiro.

Hipótese de indução   $(n=k)$

 $1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3=[\frac{k(k+1)}{2}]^2$

Tese de indução $(n=k+1)$

Vamos provar para $(n=k+1)$ .


$1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3+(k+1)^3=[\frac{k(k+1)}{2}]^2+(k+1)^3$

Vamos somar $[\frac{k(k+1)}{2}]^2+(k+1)^3$

$\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3=\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}=$
$\frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}=[\frac{(k+1)(k+2)}{2}]^2$

Assim provamos que a fórmula é válida para $(n=k+1)$ .

Isto é:

$1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=[\frac{n(n+1)}{2}]^2 , \forall n\in\mathbb{N^*}$ .

Continuidade Uniforme

Prove que $f:(a,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}$ com $a>0$ definida por $f(x)=\sqrt{x}$ é uniformemente contínua.

Sabemos que $x , y >a$ .



$|\sqrt{x}-\sqrt{y}|=\frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}<\frac{|x-y|}{\sqrt{a}+\sqrt{a}}<\epsilon$

Como $x >a$ , então $\sqrt{x}>\sqrt{a}$ e  $y>a$ ,  então $\sqrt{y}>\sqrt{a}$.

Assim $\sqrt{x}+\sqrt{y}>\sqrt{a}+\sqrt{a}=2\sqrt{a}$


Então

$\frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}<\frac{|x-y|}{2\sqrt{a}}<\epsilon$.

Assim $|x-y|<{2\sqrt{a}}\epsilon$ .

Dessa forma escolhendo $\delta={2\sqrt{a}}\epsilon$  a continuidade uniforme de $f(x)$ é garantida.

Limites de funções

Seja $f(x)=x+5.\sin x$ para todo $x\in\mathbb{R}$.Então $ \lim_{x\to+\infty } f(x)=+\infty $.


Então para $ \lim_{x\to+\infty } f(x)=+\infty $ , então para $x>M$ $\Rightarrow$ $f(x)>A$ com $A,M>0$

Assim $f(x)=x+5.\sin x\geq x-5>A\Rightarrow x>A+5$ , assim escolhendo $M=A+5$ , mostramos que

 $ \lim_{x\to+\infty }x+5.\sin x=+\infty $.

Continuidade uniforme

Mostre que $f:[-a,a] \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x)=x^2$ é uniformemente contínua em $[-a,a]$  .

Primeiramente $|x^2-y^2|=|x-y||x+y|$


Como $x,y\leq a$ , então $ x+y\leq 2a<3a$, assim

$|x^2-y^2|=|x-y||x+y|<3a|x-y|<\epsilon \Rightarrow |x-y|<\frac{\epsilon}{3a}$

Escolhendo $\delta=\frac{\epsilon}{3a}$ acaba a demosntração.

Teoria dos Números (Exercício)

Encontrar todos os inteiros positivos $n$ para os quais $(n+1)\mid(n^2+1)$.

Para encontras esses inteiros  vamos utilizar  propriedades dos números inteiros.

$(n+1)\mid(n^2+1 -n(n+1))$ , então $(n+1)\mid(1-n)$, então  $(n+1)\mid(n-1)$ , procedendo da

mesma forma $(n+1)\mid(n-1-(n+1))$, assim $(n+1)\mid(-2)$, então $(n+1)\mid 2$, assim

$n+1=1$ ou $n+1=-1$ ou $n+1=2$ ou $n+1=-2$ , dessa forma $n=0$ ou $n=-2$ ou $n=1$ ou $n=-3$.

Agora vamos testar os valores.

Para $n=0$ , então $1\mid1$ .

Para $n=-2$ , então $-1\mid5$.

Para $n=1$, então $2\mid2$ .

Para $n=-3$, então $-2\mid10$ .

Logo estes quatro valores são os valores para os quais $(n+1)\mid(n^2+1)$ .

Teoria Elementar dos Números (exercício)

Mostrar que se para algum $n$ , $m\mid(35n+26)$ , $m\mid(7n+3)$ e $m>1$ , então $m=11$ .


Para mostrar que $m=11$ , vamos usar propriedades da divisão.

Se $m\mid(35n+26)$ e $m\mid(7n+3)$ , então $m\mid(35n+26-5(7n+3))$ , logo

$m\mid 11$ , portanto $m=1$ ou $m=-1$ ou $ m=11$ ou $m=-11$ mas como $m>1$, a única

possibilidade é $m=11$ .

Considere $\;a_n$ uma sequência real definida por :

$\;a_1=\sqrt{2}$ e em geral $\;a_{n+1}=\sqrt{2+\;a_n}$ , $n\in\mathbb{N}$

Prove que a sequência converge.

Para provar que a sequência dada acima converge , precisamos mostrar que ela é monótona e limitada.

Vamos mostrar primeiramente que é monótona .

Como $\;a_1=\sqrt{2}$ e $a_2=\sqrt{2+\;\sqrt{2}}$, vamos supor  $a_{n+1}>a_n$.

Assim $2+a_{n+1}>2+a_n$ então $\sqrt{2+a_{n+1}}>\sqrt{2+a_n}$ , logo $a_{n+2}>a_{n+1}$.

Assim , via indução finita mostramos que tal sequência é monótona.

Resta agora mostrar que é limitada .

Sabemos que é uma sequência crescente  , como fora provado, então $a_n\geq\sqrt{2}$

Vamos mostrar que é $a_n$ é menor que 3 para todo $n\in\mathbb{N}$ .

$a_n<3<$ , então $2+a_n<5$, logo $\sqrt{2+a_n} <\sqrt{5}<3$, assim $a_{n+1}<\sqrt{5}<3$

Agora que já mostramos que a sequência é monótona e limitada , podemos garantir a existência do limite e assim o calcularmos.

$L=\sqrt{2+L}$, então $ L^2=2+L$ então $L^2-L-2=0$, assim o limite $L$ é igual a 2.

Supremo

Seja A um conjunto não-vazio e limitado superiormente e seja

$a = sup A$ então para todo $\epsilon>0$ existe $\; x$ em $A $ tal que $ a-\epsilon < x \leq a$.

Demonstração

Suponha um $d<a$ , claramente $d$ não é cota superior de $A$ , como para todo $\epsilon>0, $               $a-\epsilon<a$, então $a-\epsilon$ não é cota superior de $A$, logo existe pelo menos um $x$ tal que 

$a-\epsilon<x\leq a$

Supremo

Sejam $A_1, A_2\cdots\;A_n$ conjuntos não-vazios e limitados superiormente.

Prove que $sup(A_1+A_2+\cdots+A_n)=sup(A_1)+sup(A_2)+\cdots+sup(A_n)$

Demonstração

Vamos utilizar o Axioma do Supremo que afirma :

Todo subconjunto não-vazio de números reais limitado superiormente admite supremo.

Se $A_1$ é não-vazio e limitado superiormente, então admite supremo.

Assim para todo $x_1$ em $A_1$ tem-se $x_1\leq sup( A_1)$

Para todo $x_2$ em $A_2$ tem-se $x_2\leq sup (A_2)$
.
.
.
.
Para todo $x_n$ em $A_n$ tem-se $x_n \leq sup (A_n)$


Dessa forma
 Para todo $\epsilon>0$  existe $x_1$ em $A_1$ tal que  $x_1+\frac{\epsilon}{n} >sup(A_1)$

     Para todo $\epsilon>0$  existe $x_2$ em $A_2$    tal que       $x_2+\frac{\epsilon}{n}>sup(A_2)$
.
.
.
.
  Para todo $\epsilon>0$  existe $x_n$ em $A_n$ tal que $x_n+\frac{\epsilon}{n}>sup(A_n)$

Assim $x_1+x_2+\cdots\;+x_n+\epsilon>sup(A_1)+sup(A_2)+\cdots+sup(A_n)$

Dessa forma mostramos que $sup(A_1)+sup(A_2)+\cdots+sup(A_n)$ é a menor cota superior, logo supremo de $A_1+A_2+\cdots+A_n $.

Isto mostra que $sup(A_1+A_2+\cdots+A_n)=sup(A_1)+sup(A_2)+\cdots+sup(A_n)$